Question

Нужно решить и сделать полный анализ.
y=4x/(x+1) То что в скобках еще и в квадрате

Answer 1

$f(x)= \frac{4x}{(x+1)^2}, \\ 1) x+1\neq0, x\neq-1, \\ D_y=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty); \\ y= \frac{4x}{(x+1)^2}, \\ y(x^2+2x+1)=4x, \\ yx^2+2yx-4x+y=0, \\ yx^2+2(y-2)x+y=0, \\ D=(y-2)^2-y^2=y^2-4y+4-y^2=4(1-y), \\ D \geq 0, 1-y \geq 0, y \leq 1, \\ E_y=(-\infty; 1); \\ 2) x=0, y=0, \\ y=0, \frac{4x}{(x+1)^2}=0, 4x=0, x=0, \\ (0;0); \\ 3) f(-x)= \frac{-4x}{(-x+1)^2}, \\ f(-x) \neq f(x), f(-x) \neq -f(x);$
ни четная ни нечетная;
$4) y\gtrless0, \frac{4x}{(x+1)^2}\gtrless0, \\ x(x+1)^2\gtrless0, \\ x>0, x\in(0;+\infty) \ \ y>0, \\ x<0, x\in(-\infty;-1)\cup(1;0) \ \ y<0; \\ 5) f'(x)=(\frac{4x}{(x+1)^2})'= \frac{4x'(x+1)^2-4x((x+1)^2)'}{(x+1)^4}=\frac{4(x+1)^2-8x(x+1)(x+1)'}{(x+1)^4}=\\=\frac{4(x+1)^2-8x(x+1)}{(x+1)^4}=\frac{4(x+1)(x+1-2x)}{(x+1)^4}=\frac{4(1-x)}{(x+1)^3}; \\ x+1 \neq 0, x \neq -1; \\ f'(x)=0, \frac{4(1-x)}{(x+1)^3}=0, x=1,$
x=-1 - точка разрыва,
х=1 - критическая точка,
$6) f'(x)\gtrless0, \frac{4(1-x)}{(x+1)^3}\gtrless0, \\ (1-x)(x+1)^3\gtrless0, \\ (x-1)(x+1)^3\lessgtr0, \\ x<-1, x\in(-\infty;-1), y'<0, y\searrow, \\ -1<x<1, x\in(-1;1), y'>0, y\nearrow, \\ x>1, x\in(1;\infty), y'<0, y\searrow,$
x=1 - точка максимума, 
$f''(x)= (\frac{4(1-x)}{(x+1)^3})'=4 \frac{(1-x)'(x+1)^3-(1-x)((x+1)^3)'}{(x+1)^6}=\\=4 \frac{-(x+1)^3-3(1-x)(x+1)^2(x+1)'}{(x+1)^6}=-4 \frac{(x+1)^3+3(1-x)(x+1)^2}{(x+1)^6} =\\=\frac{-4(x+1)^2(x+1+3-3x)}{(x+1)^6}=\frac{-4(4-2x)}{(x+1)^4}=\frac{8(x-2)}{(x+1)^4}, \\f''(x)\gtrless0, \frac{8(x-2)}{(x+1)^4}\gtrless0, \\ (x-2)(x+1)^4\gtrless0, \\ x<-1,  y''<0, y\smallfrown, \\ -1<x<2, y''<0, y\smallfrown, \\ x>2, y''>0, y\smallsmile,$
x=2 - точка перегиба.