Question

Задача. Сколько человек одновременно решили первую и вторую задачи?

В олимпиаде участвовало 100 школьников. Они решали 4 задачи. Никто не решил все четыре задачи. Первую задачу решили 90 участников олимпиады, вторую - 80, третью - 70, четвертую - 60. Сколько человек одновременно решили первую и вторую задачи?

Answer 1

Ответы таких задач (задача из базовой математики ЕГЭ) обычно даются в виде вариантов. То есть нужно из выбранных вариантов ответа выбрать подходящий. Это делается путем подстановки ответа в задачу.

Но так как варианты к данной задаче не даны попробуем найти решение рассуждениями.

Начнем с конца, с четвертой задачи. Ее решили 60 человек из 100. Остальные 40 человек могут быть из тех, кто решил 1-ю и 2-ю, или 2-ю и 3-ю, или 1-ю и 3-ю. То есть в этом случае ответ у нас получится одновременно первую и вторую задачи могли решить максимум 40 человек (100-60).

Аналогичные рассуждения с третьей задачей приводят к ответу, что первую и вторую могли решить 30 человек (100-70).

Получается, что одновременно первую и вторую задачу 30+40 = 70 человек.

Можно рассуждать и по другому. Всего решивших первую задачу 90, вторую - 80 человек. А задач всего 100, значит решили первую и вторую 80+90-100 = 70 человек.

Answer 2

Первые два условия дают следующие картинки (одна цифра - 10 человек):

Наибольшее пересечение (80 учеников):

1111111110

2222222200

Наименьшее пересечение (70 учеников):

1111111110

0022222222

Ясно, что остальные три условия должны устранить неоднозначность решения.

Проверим остальные условия на минимальном пересечении (нужно следить, чтобы не было учеников, решивших все четыре задачи):

1111111110

0022222222

3300033333

4444400004

Как видно, все условия выполнены. Одно решение (70 учеников) найдено. Но есть ли другие решения? Можно ли увеличить пересечения первых двух условий, не нарушая остальные условия?

Как видно из схемы - что это невозможно.

Ответ 70.

Answer 3

Возьмем наилучшее распределение,рассма­<wbr />триваем с начала

то есть 1 и 2 задачи решили 70 человек-это группа 1

только первую 20 человек- это группа 2

,только вторую-10 человек.-группа 3

Теперь присовокупляем третью задачу,пусть её решила:

группа 2 в полном составе-20 человек-то есть 1 и 3 задачи

группа 3 в полном составе-10 человек-2 и 3 задачи

Из группы 1 ее решило тогда 40 человек- 1,2 и 3 задачи и в группе осталось 30 человек с задачами 1 и 2.

То есть 60 человек на четвертую задачу вполне набирается,так чтобы не было решивших все 4 задачи-это группа 2(20 человек)+группа 3( 10 человек) и еще 30 человек из группы 1,тех которые решили только 1 и 2 задачи.

Ответ: первую и вторую задачи решило 70 человек,из этих 70 участников 40 человек решило еще и 3 задачу,а 30 человек других из этих 70 решило ещё 4 задачу