Question

Найдите площадь фигуры, ограниченную линиями y=4-x, y=x^2+2
Сделайте рисунок

Помогите, пожалуйста, тема - интегралы, очень прошу!

Answer 1

Находим границы фигуры по оси абсцисс, для чего приравниваем уравнения заданных линий и решаем полученное уравнение.
4-x = x²+2,
х² + х - 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=1²-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√9-1)/(2*1)=(3-1)/2=2/2=1;x₂=(-√9-1)/(2*1)=(-3-1)/2=-4/2=-2.
Так как прямая y=4-x на полученном промежутке проходит выше  параболы y=x^2+2, то искомую площадь определяем как интеграл:
S = ∫(-2;1) (4 - х - (х² + 2)) = ∫(-2;1)(-х² -х + 2).
$\int\limits^1_{-2} (-x^2-x+2)} \, dx =- \frac{x^3}{3}- \frac{x^2}{2}+2x|_{-2}^1.$
Подставив пределы интегрирования, получаем \frac{7}{6}-\left(-\frac{10}{3}\right), После упрощения получаем S = 9/2 = 4,5.