MABC - правильная треугольная пирамида.
MO_|_(ΔABC), O- центр треугольника - точка пересечения медиан, биссектрис, высот
![S_{pol.pov} = S_{osn}+ S_{bok.pov} S_{bok.pov} =72 \sqrt{3}-27 \sqrt{3} S_{bok.pov}=45 \sqrt{3} [tex] S_{bok.pov}= \frac{1}{2} * P_{osn}* h_{a}](https://tex.z-dn.net/?f=%20S_%7Bpol.pov%7D%20%3D%20S_%7Bosn%7D%2B%20S_%7Bbok.pov%7D%20%20%0A%0A%20S_%7Bbok.pov%7D%20%3D72%20%5Csqrt%7B3%7D-27%20%5Csqrt%7B3%7D%20%20%0A%0A%20S_%7Bbok.pov%7D%3D45%20%5Csqrt%7B3%7D%20%20%5Btex%5D%20S_%7Bbok.pov%7D%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%2A%20P_%7Bosn%7D%2A%20h_%7Ba%7D%20%20)
![h_{a}-apofema](https://tex.z-dn.net/?f=%20h_%7Ba%7D-apofema%20)
по условию пирамида правильная, => в основании пирамиды правильный треугольник
площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:
![S_{osn}= \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{4}](https://tex.z-dn.net/?f=%20S_%7Bosn%7D%3D%20%5Cfrac%7B%20a%5E%7B2%7D%20%5Csqrt%7B3%7D%20%20%7D%7B4%7D%20%20)
![27 \sqrt{3} = \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{4}](https://tex.z-dn.net/?f=27%20%5Csqrt%7B3%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%20a%5E%7B2%7D%20%5Csqrt%7B3%7D%20%20%7D%7B4%7D%20)
![a^{2} =27*4 a=6 \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%20a%5E%7B2%7D%20%3D27%2A4%0A%0Aa%3D6%20%5Csqrt%7B3%7D%20)
![45 \sqrt{3} = \frac{1}{2} *3*6 \sqrt{3} * h_{a} h_{a}=5](https://tex.z-dn.net/?f=45%20%5Csqrt%7B3%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%2A3%2A6%20%5Csqrt%7B3%7D%20%2A%20h_%7Ba%7D%20%0A%0A%0A%20h_%7Ba%7D%3D5%20)
MK_|_AB,
![MK= h_{a}](https://tex.z-dn.net/?f=MK%3D%20h_%7Ba%7D%20)
CK_|_AB.
CK в точке О делится в отношении 2:1, считая от вершины С.
прямоугольный ΔМОК: <MOK=90°, MK=5 см, OK=(1/3)*CK
CK -высота правильного треугольника вычисляется по формуле:
![CK= \frac{AB \sqrt{3} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=CK%3D%20%5Cfrac%7BAB%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20)
![CK= \frac{6 \sqrt{3}* \sqrt{3} }{2} =9](https://tex.z-dn.net/?f=CK%3D%20%5Cfrac%7B6%20%5Csqrt%7B3%7D%2A%20%5Csqrt%7B3%7D%20%20%7D%7B2%7D%20%3D9)
![OK=CK* \frac{1}{3} =9* \frac{1}{3} CK=3](https://tex.z-dn.net/?f=OK%3DCK%2A%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%3D9%2A%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%0A%0A%0ACK%3D3)
ΔMOK:<MOK=90°, MK=5 см -гипотенуза
ОК=3 см -катет, => МО=4 см. Пифагоров или Египетский треугольник
ответ:
высота правильной пирамиды 4 см