Question

При каких значениях параметра a многочлен (a²-4)x⁴-2x³+(2a-1)x-4 будет:
а) приведенным многочленом
б) многочленом четвертой степени
в) многочленом третьей степени
г) принимать одинаковые значения в точке x=1 и x=-1

Answer 1

$p(x)=(a^2-4)x^4-2x^3+(2a-1)x-4$

а) многочлен является приведенным, если его старший коэффициент равен единице:
$a^2-4=1 \\\ a^2=5 \\\ a=\pm \sqrt5}$

б) данный многочлен будет многочленом четвертой степени, если коэффициент при х⁴ не будет нулевым:
$a^2-4 \neq 0 \\\ a^2 \neq 4 \\\ a \neq \pm2$

в) коэффициент при х³ не равен нулю, поэтому данный многочлен будет многочленом третьей степени, если коэффициент при х⁴ будет равен нулю:
$a^2-4=0 \\\ a^2=4 \\\ a=\pm2$

г) найдем значения многочлена в точке х=1 и х=-1 и приравняем их:
$(a^2-4)\cdot1^4-2\cdot1^3+(2a-1)\cdot1-4= \\\ =(a^2-4)\cdot(-1)^4-2\cdot(-1)^3+(2a-1)\cdot(-1)-4 \\\ (a^2-4)-2+(2a-1)-4=(a^2-4)+2-(2a-1)-4 \\\ -2+2a-1=2-2a+1 \\\ 4a=6 \\\ a=1.5$