Х+1=0 или у+4=0;у+1 не =0
х=-1;у=-4;у не=-1;
Если х=-1,то у^-4•(-1)-3у=8;
у^+4-3у=8;
у^-3у-4=0
Д=25;у=4;у=-1(не удовлетворяет ОДЗ)
(-1;4)
Если у=-4;то 16-4х-3•(-4)=8;
16-4х+12=8;
-4х=8-28;
х=5;(5;-4)
Ответ:(-1;4);(5;-4)
sin^3(2x)=1/4
sin(2x)=4^(-1/3)
2x=(-1)^n*arcsin(4^(-1/3))+πn,где n∈Z
x=(-1)^n*arcsin(4^(-1/3)/2+π/2 *n,где n∈Z
5. ![x^2+x^2y^2+y^2+1=x^2(1+y^2)+(y^2+1)=(x^2+1)(y^2+1)](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2Bx%5E2y%5E2%2By%5E2%2B1%3Dx%5E2%281%2By%5E2%29%2B%28y%5E2%2B1%29%3D%28x%5E2%2B1%29%28y%5E2%2B1%29)
Поскольку x и y - натуральные числа, ![x^2+1>1;\ y^2+1>1.](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B1%3E1%3B%5C%20y%5E2%2B1%3E1.)
Следовательно, произведение этих чисел является составным числом.
6. Заметим, что 2020=2019+1. Будем решать задачу в более общем виде. А именно, докажем, что при любом целом a выражение
является квадратом целого числа. Имеем:
![A=a^2+a^4+2a^3+a^2+a^2+2a+1=a^4+2a^3+3a^2+2a+1=(a^2+a+1)^2](https://tex.z-dn.net/?f=A%3Da%5E2%2Ba%5E4%2B2a%5E3%2Ba%5E2%2Ba%5E2%2B2a%2B1%3Da%5E4%2B2a%5E3%2B3a%5E2%2B2a%2B1%3D%28a%5E2%2Ba%2B1%29%5E2)
Пусть арифметическая прогрессия будет
а1, а2=а1+d, а3=а2+d=a1+2d
Те же члены но через геометрическую
а1, а2=а1*q,а3=а2*q=а1*q²
Так как а2=а2 то
а1+d=а1*q Получаем d=а1*q-а1=а1*(q-1)
Так как и а3=а3 то
a1+2d=а1*q² Получаем 2d=а1*q²-а1=а1*(q²-1) или d=а1*(q²-1)/2
Приравниваем d
а1*(q-1)=а1*(q²-1)/2
q-1=(q²-1)/2
2q-2=q²-1
q²-2q+1=0
Д=4-4=0
q=2/2=1
Значит единственный вариант а2=а1*q=а1, а3=а2*q=а2=а1
Когда все члены прогрессии равны
Противоречие с условием.
Значит мы доказали что <span>члены не могут одновременно составлять разные прогресии</span>
а) Дана функция
![y = \cos(5x)^{ {e}^{x} }](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20%20%5Ccos%285x%29%5E%7B%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%7D%20)
Запишем выражение в развернутом виде:
![y = {e}^{ ln({ \cos(5x) }^{ {e}^{x} }) }](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20%20%7Be%7D%5E%7B%20%20ln%28%7B%20%5Ccos%285x%29%20%7D%5E%7B%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%7D%29%20%7D%20)
Дифференцируем как сложную функцию ( y' = g(x) ):
![g(x) = \frac{d}{dx} ( {e}^{ {e}^{x} ln( \cos(5x) ) } ) \\ g(x) = \frac{d}{dx} ( {e}^{f}) \times \frac{d}{dx} ( ln( \cos(5x) {e}^{x} ) \\ g(x) = {e}^{f} ( - \frac{1}{ \cos(5x) } \times 5 {e}^{x} \sin(5x) + ln( \cos(5x)) {e}^{x} ) \\ g(x) = - 5 {e}^{x} \cos(5x) ^{ {e}^{x} - 1} \sin(5x) + \cos(5x) ^{ {e}^{x} } {e}^{x} ln( \cos(5x) )](https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%28%20%7Be%7D%5E%7B%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20ln%28%20%5Ccos%285x%29%20%29%20%20%7D%20%29%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%28%20%7Be%7D%5E%7Bf%7D%29%20%5Ctimes%20%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%20%28%20ln%28%20%5Ccos%285x%29%20%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%29%20%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%7Be%7D%5E%7Bf%7D%20%28%20%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Ccos%285x%29%20%7D%20%20%5Ctimes%205%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%20%5Csin%285x%29%20%20%2B%20%20ln%28%20%5Ccos%285x%29%29%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%20%29%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20-%205%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%20%20%5Ccos%285x%29%20%5E%7B%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%20-%201%7D%20%20%5Csin%285x%29%20%20%2B%20%20%5Ccos%285x%29%20%20%5E%7B%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%7D%20%20%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20ln%28%20%5Ccos%285x%29%20%29%20)
б) Дана функция
![y = 3 ln( \sqrt{4 + x} + \sqrt{1 + x} )](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%203%20ln%28%20%5Csqrt%7B4%20%2B%20x%7D%20%20%2B%20%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20x%7D%20%29%20)
Дифференцируем как сложную функцию вынеся константу за знак дифференциала ( y' = g(x) ):
![g(x) = 3 \frac{d}{dx} ( ln( \sqrt{4 + x} + \sqrt{1 + x} ) ) \\ g(x) = 3 \frac{d}{dx} ( ln(f) ) \times \frac{d}{dx} ( \sqrt{4 + x} + \sqrt{1 + x} ) \\ g(x) = \frac{3}{f} ( \frac{1}{2 \sqrt{4 + x} } + \frac{1}{2 \sqrt{1 + x} } ) \\ g(x) = \frac{3}{ \sqrt{4 + x} + \sqrt{1 + x} } \times \frac{ \sqrt{1 + x} + \sqrt{4 + x} }{2 \sqrt{(4 + x)(1 + x)} } \\ g(x) = \frac{3}{2 \sqrt{(4 + x)(1 + x)} } \\ g(x) = \frac{3}{2 \sqrt{ {x}^{2} + 5x + 4} }](https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%20%3D%203%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%28%20ln%28%20%5Csqrt%7B4%20%2B%20x%7D%20%20%2B%20%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20x%7D%20%29%20%29%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%203%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%28%20ln%28f%29%20%29%20%5Ctimes%20%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%28%20%5Csqrt%7B4%20%2B%20x%7D%20%20%2B%20%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20x%7D%20%29%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bf%7D%20%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Csqrt%7B4%20%2B%20x%7D%20%7D%20%20%2B%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20x%7D%20%7D%20%29%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B3%7D%7B%20%5Csqrt%7B4%20%2B%20x%7D%20%20%2B%20%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20x%7D%20%7D%20%5Ctimes%20%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20x%7D%20%20%2B%20%20%5Csqrt%7B4%20%2B%20x%7D%20%7D%7B2%20%5Csqrt%7B%284%20%2B%20x%29%281%20%2B%20x%29%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%20%5Csqrt%7B%284%20%2B%20x%29%281%20%2B%20x%29%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%20%5Csqrt%7B%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%20%2B%205x%20%2B%204%7D%20%7D%20)
в) И опять дана функция
![y = \frac{ { \sin(x) }^{2} }{ \cos(x) }](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%7B%20%5Csin%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Ccos%28x%29%20%7D%20)
Дифференцируем используя правило дифференцирования частного ( y' = g(x) ):
![g(x) = \frac{d}{dx} ( \frac{ { \sin(x) }^{2} }{ \cos(x) } ) \\ g(x) = \frac{ \frac{d}{dx}( { \sin(x) }^{2} ) \cos(x) - \frac{d}{dx}( \cos(x)) { \sin(x) }^{2}}{ \cos(x)^{2} } \\ g(x) = \frac{(2 \sin(x) \cos(x) ) \cos(x) - { \sin(x) }^{2} ( - \sin(x)) }{ { \cos(x) }^{2} } \\ g(x) = \frac{ \sin(2x) \cos(x) + { \sin(x) }^{3} }{ { \cos(x) }^{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%28%20%5Cfrac%7B%20%7B%20%5Csin%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Ccos%28x%29%20%7D%20%29%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28%20%7B%20%5Csin%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20%29%20%5Ccos%28x%29%20%20-%20%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28%20%5Ccos%28x%29%29%20%7B%20%5Csin%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%7D%7B%20%5Ccos%28x%29%5E%7B2%7D%20%20%7D%20%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%282%20%5Csin%28x%29%20%20%5Ccos%28x%29%20%29%20%5Ccos%28x%29%20-%20%20%7B%20%5Csin%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20%28%20-%20%20%5Csin%28x%29%29%20%20%7D%7B%20%7B%20%5Ccos%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20%7D%20%20%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%5Csin%282x%29%20%20%5Ccos%28x%29%20%2B%20%20%7B%20%5Csin%28x%29%20%7D%5E%7B3%7D%20%20%7D%7B%20%7B%20%5Ccos%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20%7D%20)