Question

Сумма первого и третьего членов прогрессии равна 2, а её четвёртый член равен 5. Найти сумму первых пятнадцати членов прогрессии.

Answer 1

По условию: $a_1+a_3=2$ и $a_4=5$. Найти $S_{15}$

$a_n=a_1+(n-1)d$ - n-ый член арифметической прогрессии в общем виде.

Составим систему

$\displaystyle \left \{ {{a_1+a_3=2} \atop {a_4=5}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a_1+a_1+2d=2} \atop {a_1+3d=5}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a_1+d=1} \atop {a_1+3d=5}} \right.$

Отнимем второе уравнение от первого, имеем
$2d=4\\ d=2$

Тогда первый член арифметической прогрессии: $a_1=1-d=-1$

Сумма первых n членов арифметической прогрессии в общем виде: $S_n= \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

Сумма первых 15 членов арифметической прогрессии:

$S_{15}= \dfrac{2a_1+14d}{2} \cdot 15=15\cdot(a_1+7d)=195$



Конечный ответ: $195$