Question

придумайте интересную задачу про треугольники

Answer 1

с 

Треугольники ABC и DEF вписаны в одну и ту же окружность. Доказать, что равенство их периметров  равносильно условию sin A + sin B + sin C = sin D + sin E + sin F.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник  ABC. Согласно теореме синусов

AB/sin C = BC/sin A = AC/sin B = 2R или 
sin C/AB = sin A/BC = sin B/AC = 1/(2R).

sin C = AB/(2R); sin A = BC/(2R); sin B = AC/(2R).

sin A + sin B + sin C = (BC + AC + AB) / (2R) = P1/(2R).

sin A + sin B + sin C = P1/(2R), где P1 – периметр треугольника ABC.

Аналогично, из треугольника DFE имеем: 

sin D + sin E + sin F = (EF + DF + DE) / (2R) = P2/(2R), где P2 – периметр треугольника DFE .

Легко видеть, что если  P1 = P2, то sin A + sin B + sin C = sin D + sin E + sin F и наоборот.

Задача 2.