Решение во вложенном файле.
х = 43/7 = 6 1/7
{5x₁-19x₂-x₃=26
{2x₁-5x₂-x₃=6
{8x₁-31x₂-4x₃=35
a)метод Крамера.
Находим главный определитель:
Находим D₁(в главный определитель вместо 1 столбца подставляем свободные коэффициенты)
Находим D₂:
Находим D₃:
Рассчитаем x₁, x₂, x₃:
в)Метод Гауса.
Запишем систему неравенств в виде матрицы, и приведём её к ступенчатому виду, при помощи элементарных преобразований.
Получаем такую систему:
{x₁-9x₂+x₃=14
{13x₂-3x₃=-22
{-33/13*x₃=-99/13
Эта система легко решается.
{x₃=3
{x₂=-1
{x₁=2
б) Матричный метод.<span>
Запишем
систему в матричной форме.
A·X=b
Тогда
решением будет:
X=A⁻¹·b</span><span>
Найдём A⁻¹ по формуле:</span><span>
Где
транспонированная
матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A
Найдём |A|:
</span><span><span><span><span /></span></span><span><span><span><span><span><span><span><span><span><span><span><span><span><span /></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span><span /></span></span></span>.
<span>
Найдём
.
Для этого посчитаем все алгебраические дополнения:
<span>
</span></span>
Запишем алгебраические дополнения в виде матрицы:
Транспонируем эту матрицу:
Найдём A⁻¹(в матрицу пока что занесём только минус):
Найдём решения системы:
15х²-23х+4=0 а= 15; б= -23; с= 4
Д= б²-4ас=529-4*15*4=529-240=289, Д>0,
х₁=-б+√Д / 2а=23+17 / 2*15 =40/30=4/3= 1 1/3
х₂=-б-√Д / 2а=23-17 / 2*15=6/30=1/5
Если x поменять на y, а y на x, уравнения системы не изменятся⇒они называются симметрическими
а) Замена: x+y=u; xy=v; во втором уравнении x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=u^2-2v.
u+v=2; u^2-v=4 (я пишу два уравнения системы в одну строчку);
v=2-u; u^2-2+u=4;
u^2+u-6=0; u=-3 (⇒v=5) или u=2 (⇒v=0)
В первом случае получается система x+y= - 3; xy = 5; по теореме Виета x и y являются решениями уравнения t^2+3t+5=0, у которого дискриминант <0⇒нет решений.
Во втором случае x+y=2; xy=0; t^2-2t=0; t=0 или t=2
Ответ:(0;2); (2;0)
(в симметрических системах всегда так: если есть решение (a,b) , то есть и решение (b,a))
б) совершенно аналогично
u+v=8; u^2+v=20;
u^2-u-12=0; u=4 (⇒ v= 4) или u= - 3 (⇒v=11)
1сл. x+y=4; xy=4; t^2-4t+4=0; (t-2)^2=0; t_(1,2)=2⇒x=y=2
2 сл. x+y=- 3; xy = 11; дискриминант окажется отрицательным, решений нет
Ответ: (2,2)