Question

Помогите с номером 165

Answer 1

$1)\quad \int 5x^{-\frac{4}{5}}dx=5\cdot \frac{x^{\frac{1}{5}}}{1/5} +C=25x^{\frac{1}{5}}+C\; ;\\\\(25x^{ \frac{1}{5}}+C)'= }25\cdot \frac{1}{5}\cdot x^{ \frac{1}{5}-1 }+0=5x^{- \frac{4}{5} }=f(x)\\\\2)\quad \int \frac{1}{x\sqrt[3]{x}} dx=\int x^{-\frac{4}{3} }dx= \frac{x^{-\frac{1}{3}}}{-1/3}+C=-3x^{-\frac{1}{3}}+C}\\\\(-3x^{- \frac{1}{3} }+C)'=-3\cdot \frac{-1}{3}x^{ -\frac{1}{3}-1 }+0=x^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{x\sqrt[3]{x}}=f(x)$

$3)\quad \int \frac{2x^{-1}+3x}{4x^3} dx=\int ( \frac{2x^{-1}}{4x^3}+\frac{3x}{4x^3} )dx=\int ( \frac{1}{2x^4}+\frac{3}{4x^2} )dx=\\\\=\int ( \frac{1}{2} \cdot x^{-4}+ \frac{3}{4} \cdot x^{-2})dx= \frac{1}{2}\cdot \frac{x^{-3}}{-3}+\frac{3}{4}\cdot \frac{x^{-1}}{-1}}+C=-\frac{x^{-3}}{6}-\frac{3x^{-1}}{4} +C\; ;\\\\(- \frac{x^{-3}}{6}-\frac{3x^{-1}}{4} )'=- \frac{1}{6}\cdot (-3)\cdot x^{-4}-\frac{3}{4}\cdot (-1)\cdot x^{-2}=\frac{1}{2x^4}+\frac{3}{4x^2}=f(x)$

$4)\quad \int (x^5+x)^2dx= \int (x^{10}+2x^6+x^2)dx=$

$=\frac{x^{11}}{11}+2\cdot \frac{x^7}{7}+\frac{x^3}{3}+C\; ;\\\\( \frac{x^{11}}{11} + \frac{2}{7}\cdot x^7+\frac{1}{3}\cdot x^3)'= \frac{1}{11}\cdot 11x^{10}+\frac{2}{7}\cdot 7x^6+\frac{1}{3}\cdot 3x^2+0=\\\\=x^{10}+2x^6+x^2=(x^5+x)^2=f(x)$