Question

Найдите область значений функции и определите, является ли функция ограниченной:
1)$y=\sqrt{16-x^2}$
2)$y=\sqrt{x^2-16}$

Answer 1

 Пусть m — произвольное значение

функции y. Тогда равенство y=m окажется верным при

тех значениях m, при которых уравнение y=f(x) относительно х

имеет корни. Найдем множество значений m, при которых эти уравнения имеют корни. Тем самым мы найдем область значений функций у.

Возведем обе части уравнения √(16-x²)=m в квадрат и выразим x через m

1) m≥0;16-x²≥0⇒|x|≤4

16-x²=m²⇒x²-(16-m²)=0⇒|x|=√(16-m²)⇒√(16-m²)≤4⇒

|m|≤4;16-m²≤16⇒|m|≤4;m²≥0⇒m∈[0;4]

E(y)=[0;4] функция ограниченная

2) m≥0; x²-16≥0⇒|x|≥4

√(x²-16)=m⇒x²-16=m²⇒x²=m²+16⇒|x|=√(m²+16)⇒√(m²+16)≥4⇒

m²+16≥16⇒m²≥0⇒m≥0

E(y)=[0;∞) функция неограниченная