А) Существует. Пусть число будет двузначным, 10a + b.
a^2 + b^2 = 2(a + b) + 23
a^2 - 2a + b^2 - 2b = 23
Прибавим 2 к левой и правой части
(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) = 25
(a - 1)^2 + (b - 1)^2 = 5^2
По теореме Пифагора оно имеет целое решение:
a - 1 = 3; b - 1 = 4 (или наоборот, a - 1 = 4; b - 1 = 3).
Ответ: Это числа 45 и 54.
б) Не существует. Решаем точно также. Пусть у нас n-значное число.
a^2 + b^2 + ... + x^2 = 3(a + b + ... + x) + 23
Умножаем всё на 4 и переносим все переменные влево
(4a^2 - 12a) + (4b^2 - 12b) + ... + (4x^2 - 12x) = 92
Прибавляем 9 к каждой скобке, получаем квадраты. Всего n девяток.
(4a^2 - 12a + 9) + (4b^2 - 12b + 9) + ... + (4x^2 - 12x + 9) = 92 + 9n
(2a - 3)^2 + (2b - 3)^2 + ... + (2x - 3)^2 - 9n = 92
n единиц можно разнести по скобкам, останется 8n.
((2a - 3)^2 - 1) + ((2b - 3)^2 - 1) + ... + ((2x - 3)^2 - 1) - 8n = 92.
Дальше идет довольно тонкое рассуждение. Если подставить вместо букв числа от 0 до 9, то мы получим всякий раз число, которое делится на 8.
Число 8n, естественно, тоже кратно 8. А 92 на 8 НЕ делится.
Поэтому это уравнение решений не имеет.
в) 19999999999. Единица и 10 девяток.
Решается точно тем же способом.
(a - 4)^2 + (b - 4)^2 + ... (x - 4)^2 = 83 + 16n
Тут тоже тонкие рассуждения. Если буква (a, b, ..., x) имеет значение от 0 до 8, то правая часть растет меньше, чем левая. То есть сумма квадратов обгоняет сумму цифр меньше, чем на 83.
И только если a = 9, левая часть увеличивается на 25, а правая на 16.
То есть разница уменьшается на 25 - 16 = 9. Очевидно, 9 девяток уменьшат разницу на 9*9 = 81, а нам надо 83, поэтому нужна десятая девятка.
И, кроме того, должна быть еще одна цифра, 1 или 7.
(1 - 4)^2 = (-3)^2 = (7 - 4)^2 = 3^2 = 9.
Поэтому наименьшее число состоит из одной 1 и десяти 9.
Решение:
Чтобы избавиться от дробей, умножу обе части равенства но НОК (4,3) = 12.
![12* \frac{1}{4} (x + 2) + 12* \frac{2}{3} (x - 1) = 12 *5](https://tex.z-dn.net/?f=12%2A+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%28x+%2B+2%29+%2B+12%2A++%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%28x+-+1%29+%3D+12+%2A5)
3·(x + 2) + 8·(x - 1) = 60
3x + 6 + 8x - 8 = 60
11x - 2 = 60
11х = 60 +2
11х = 62
х = 62 : 11
х =
![5 \frac{7}{11}](https://tex.z-dn.net/?f=5+%5Cfrac%7B7%7D%7B11%7D+)
Ответ:
![5 \frac{7}{11}](https://tex.z-dn.net/?f=5+%5Cfrac%7B7%7D%7B11%7D+)
Длинна одной седьмой части должна быть 4 мм, но я не уверена это примерно
Пусть Полине Александровне подарили х цветов, тогда
Ольге Фёдоровне - (х+8)
Татьяне Герасимовне - (х-4)
Директору - (х+262)
х+(х+8)+(х-4)+(х+262)=470
х+х+8+х-4+х+262=470
4х=470-262-8+4=204
х=204:4=51 (цв.) подарили П.А.
51+8=59 (цв.) подарили О.Ф.
51-4=47 (цв.) подарили Т.Г.
51+262=313 (цв.) подарили директору
Ответ: Полине Александровне подарили 51 цветок, Ольге Фёдоровне 59 цветов, Татьяне Герасимовне 47 цв., директору 313 цв.
Решаем:
1)5-3=2 части разница
2)12:2=6 г на одну часть
3)5+3=8 частей всего
4)8*6=48 г масса всего сплава
<span>5)3*6=18 г масса зорлота в сплаве
Ответ: 18г</span>