Теорема:
Число положительных делителей данного числа a, каноническое разложение которого имеет вид
![a=p_1^{s_1}\cdot p_2^{s_2}\cdot ...\cdot p_n^{s_n}](https://tex.z-dn.net/?f=a%3Dp_1%5E%7Bs_1%7D%5Ccdot+p_2%5E%7Bs_2%7D%5Ccdot+...%5Ccdot+p_n%5E%7Bs_n%7D)
, равно значению выражения
![(s_1+1)\cdot(s_2+1)\cdot...\cdot(s_n+1).](https://tex.z-dn.net/?f=%28s_1%2B1%29%5Ccdot%28s_2%2B1%29%5Ccdot...%5Ccdot%28s_n%2B1%29.)
В данном случае
![3570=3^1\cdot5^1\cdot7^1\cdot17^1\cdot 2^1](https://tex.z-dn.net/?f=3570%3D3%5E1%5Ccdot5%5E1%5Ccdot7%5E1%5Ccdot17%5E1%5Ccdot+2%5E1)
Из теоремы всего делителей
![(1+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)\cdot (1+1)\cdot (1+1)=32](https://tex.z-dn.net/?f=%281%2B1%29%5Ccdot%281%2B1%29%5Ccdot%281%2B1%29%5Ccdot+%281%2B1%29%5Ccdot+%281%2B1%29%3D32)
из них есть нечетные делители и четные.
Выберем пару произведений
![3^1\cdot5^1\cdot 7^1\cdot 17^1](https://tex.z-dn.net/?f=3%5E1%5Ccdot5%5E1%5Ccdot+7%5E1%5Ccdot+17%5E1)
и воспользуемся опять той же теоремой.
![(1+1)^4=16](https://tex.z-dn.net/?f=%281%2B1%29%5E4%3D16)
нечетных делителей, значит четных будет 32-16=16.
{т.к. точки находятся на окружности, для каждого набора из >= 3 вершин будет существовать только один многоугольник (другие способы соединить точки приведут к самопересечению)}
1. Каждый многоугольник с только красными вершинами можно дополнить до многоугольника с одной синей вершиной
2. Каждую пару красных вершин (они не считаются за многоугольники) можно дополнить до треугольника с одной синей вершиной (треугольник уже является многоугольником)
--> Многоугольников с одной синей вершиной больше на количество пар красных вершин = 6*5/2 = 15
........... Решение прикреплено ...........