Question

Докажите, что если квадрат натурального числа, не кратного 3, уменьшить на 1, то в результате получится число, кратное 3.

Answer 1

Числа, не кратные 3, можно представить в виде формул 3k-1 и 3k-2, где к - натуральное число.
докажем для каждой формулы.
1)
$(3k-1)^2-1=(3k-1-1)(3k-1+1)=3k(3k-2)$
2) 
$(3k-2)^2-1=(3k-2-1)(3k-2+1)=(3k-3)(3k-1)=\\ =3(k-1)(3k-1)$
В обоих случаях в разложении разности на множители один из множителей  равен 3. Значит, каждое произведение кратно 3. 
Следовательно, доказан факт: если квадрат натурального числа, не кратного 3, уменьшить на 1, то в результате получится число, кратное 3.