Есть предположение что найти нужно наибольшее значение.
но решу как задан вопрос
дана функция
![\displaystyle y=ln(x+8)^{11}-11x](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y%3Dln%28x%2B8%29%5E%7B11%7D-11x)
найдем производную
![\displaystyle y`= \frac{1}{(x+8)^{11}}*11(x+8)^{10}-11=11( \frac{(x+8)^{10}}{(x+8)^{11}}-1)=\\\\=11( \frac{1}{x+8}-1)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y%60%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%28x%2B8%29%5E%7B11%7D%7D%2A11%28x%2B8%29%5E%7B10%7D-11%3D11%28+%5Cfrac%7B%28x%2B8%29%5E%7B10%7D%7D%7B%28x%2B8%29%5E%7B11%7D%7D-1%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D11%28+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B8%7D-1%29++)
найдем нули производной
![\displaystyle y`=0\\\\11( \frac{1}{x+8}-1)=0\\\\ \frac{1}{x+8}=1\\\\x+8=1\\\\x=-7](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y%60%3D0%5C%5C%5C%5C11%28+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B8%7D-1%29%3D0%5C%5C%5C%5C+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B8%7D%3D1%5C%5C%5C%5Cx%2B8%3D1%5C%5C%5C%5Cx%3D-7++)
учитывая ОДЗ (x+8)>0; x>-8
определим знаки производной
____- 8 __+___-7 ___-____
возр убыв
Значит х= -7 точка максимума
и наибольшее значение функции в точке х=-7
y(-7)=ln(-7+8)¹¹ +77=0+77=77
но вопрос стоит найти наименьшее значение
значит проверим границы отрезка
y(0)=ln(0+8)¹¹-0=11ln8 ≈11*2,079≈22,869
y(-7.5)=ln(-7.5+8)¹¹+11*7.5=11ln0.5+82.5≈11*(-0,693)+82,5≈74,877
наименьшим значением будет в точке х=0 у= 11ln8