Ууу, это вы хорошую задачку придумали :) Ну, то есть не вы придумали, но она мне очень нравится.
Уравнение будет такое:
![11a+14b=2013](https://tex.z-dn.net/?f=11a%2B14b%3D2013)
, его надо решить в целых числах.
Есть алгоритм решения таких уравнений, называются они
линейными диофантовыми уравнениями, потому что изучал их Диофант, полагаю.
Так вот, сначала нужно найти НОД коэффициентов, то есть 11 и 14, так как они взаимнопросты, то
![\gcd(11,14) = 1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cgcd%2811%2C14%29+%3D+1)
Потом на него надо сократить, при чём если не сократится, то решения нет. Но нам тут сокращать не на что.
Дальше надо угадать какое-то решение, одно, любое. На самом деле, оно не угадывается, а находится по алгоритму Евклида обратным ходом (есть такая ещё теорема о линейном представлении НОДа). Ну так вот, из неё
![1 = 4 \times 14 -5 \times11](https://tex.z-dn.net/?f=1+%3D+4+%5Ctimes+14+-5+%5Ctimes11)
, значит одно из решений будет таким:
![a = 4\times 2013 = 8052, b = -5 \times 2013 = -10 \ 065.](https://tex.z-dn.net/?f=a+%3D+4%5Ctimes+2013+%3D+8052%2C%0Ab+%3D+-5+%5Ctimes+2013+%3D+-10+%5C+065.)
Круто, да? Подойдёт, проверьте. Это я просто домножил на 2013 представление единицы.
Вы скажете: ну это же не решение, какое-то отрицательное число!
Я вам на это скажу, что вы правы. И замечу только, что общее решение в целых числах пишется так:
![\left \{ {{a = a_0 - Bt} \atop {b=b_0+At}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a = 8052 - 14t} \atop {b=-10065+11t}} \right., t \in \mathbb{Z}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Ba+%3D+a_0+-+Bt%7D+%5Catop+%7Bb%3Db_0%2BAt%7D%7D+%5Cright.+%5CLeftrightarrow++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Ba+%3D+8052+-+14t%7D+%5Catop+%7Bb%3D-10065%2B11t%7D%7D+%5Cright.%2C+t+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D)
И теперь последний шаг, нужно найти такие t, что оба эти числа натуральны.
![\Leftrightarrow \left \{ {{8052 - 14t \ \textgreater \ 0} \atop {-10065+11t \ \textgreater \ 0}} \right., t \in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow \left \{ {t \le 575} \atop {t \ \textgreater \ 915}} \right., t \in \mathbb{Z}](https://tex.z-dn.net/?f=%5CLeftrightarrow+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B8052+-+14t+%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%7D+%5Catop+%7B-10065%2B11t+%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%7D%7D+%5Cright.%2C+t+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D+%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow+%5Cleft+%5C%7B+%7Bt+%5Cle+575%7D+%5Catop+%7Bt+%5C+%5Ctextgreater+%5C+915%7D%7D+%5Cright.%2C+t+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D)
Ну и выходит, что нету таких t, может, я где-то ошибся, но вроде калькулятором пользовался.
Такие дела. Предмет, на котором это проходят, называется "теория чисел", а задачки такие на олимпиадах дают, там школьники это всё уже должны знать.
Знание - сила.