Делим выражение на член с наибольшей степенью:
![\lim_{x \to \infty} \frac{(1+2x+4x^2)}{x^3-3x^2+7} = \lim_{x \to \infty} \frac{(\frac{1}{x^3} +\frac{2}{x^2} +\frac{4}{x} )}{1-\frac{3}{x} +\frac{7}{x^3} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B%281%2B2x%2B4x%5E2%29%7D%7Bx%5E3-3x%5E2%2B7%7D+%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D+%2B%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E2%7D+%2B%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D+%29%7D%7B1-%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%7D+%2B%5Cfrac%7B7%7D%7Bx%5E3%7D+%7D)
Далее можно подставить вместо x бесконечность, тогда отношения в знаменателе и числителе обратятся в 0:
![\lim_{x \to \infty} \frac{(\frac{1}{x^3} +\frac{2}{x^2} +\frac{4}{x} )}{1-\frac{3}{x} +\frac{7}{x^3} }=\frac{0}{1} =0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D+%2B%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E2%7D+%2B%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D+%29%7D%7B1-%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%7D+%2B%5Cfrac%7B7%7D%7Bx%5E3%7D+%7D%3D%5Cfrac%7B0%7D%7B1%7D+%3D0)
Ответ: 0
1) ( X - 1)^2 = X^2 - 2X + 1
2) 4 * ( X^2 - 2X + 1 ) = 4X^2 - 8X + 4
3) 4X^2 - 8X + 4 + 8X = 4X^2 + 4
4) 4X^2 + 4 = 4 * ( X^2 + 1 )