Question

Допоможіть довести похідну y'=(x^3)'=3x^2

Answer 1

Определение производной: $\displaystyle \lim_{зx \to0} \frac{f(x_0+зx)-f(x_0)}{зx}$

$\displaystyle \lim_{зx\to0} \frac{(x_0+зx)^3-x_0^3}{зx} =\lim_{зx\to0} \frac{(x_0^3+3x_0^2зx+3x_0зx^2+зx^3)-x_0^3}{зx}=$

$\displaystyle=\lim_{зx\to0} \frac{x_0^3+3x_0^2зx+3x_0зx^2+зx^3-x_0^3}{зx}=\lim_{зx\to0} \frac{3x_0^2зx+3x_0зx^2+зx^3}{зx}=$

$\displaystyle=\lim_{зx\to0}(3x_0^2+3x_0зx+зx^2)=3x_0^2$

В качестве $x_0$ примем х, т.е. осуществив замену $x_0=x$ получим нужное.