Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=4x/x^2+1 на отрезке [-5;1/5]

Answer 1

Вычислим производную функции:
$f'(x)= \dfrac{(4x)'\cdot (x^2+1)-4x\cdot(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \dfrac{-4x^2+4}{(x^2+1)^2}$
Приравниваем производную функции к нулю:
$f'(x)=0;\,\,\,\,\,\,\, \dfrac{-4x^2+4}{(x^2+1)^2} =0$
Дробь обращается в нулю, если числитель равен нулю
$-4x^2+4=0\\ x^2=1\\ x=\pm 1$
Корень $x=1$ не принадлежит заданному отрезку.

Вычислим значения функции на отрезке:
$f(-1)= \dfrac{4\cdot(-1)}{(-1)^2+1} =-2$ - наименьшее значение
$f(-5)= \dfrac{4\cdot(-5)}{(-5)^2+1} =-\dfrac{20}{26} =- \dfrac{10}{13}$

$f( \frac{1}{5})= \dfrac{ \frac{4}{5} }{( \frac{4}{5})^2+1 } = \dfrac{10}{13}$ - наибольшее значение