Question

Алгебра. 10 класс. Профильный уровень.
Помогите решить, пожалуйста.

Answer 1

1.
а)
$cos2x+tg^2x*cos2x-1=cos2x(1+tg^2x)-1= \\ \\ =cos2x* \frac{1}{cos^2x}-1= \frac{cos^2x-sin^2x}{cos^2x}-1= \\ \\ = \frac{cos^2x}{cos^2x}- \frac{sin^2x}{cos^2x}-1=1-tg^2x-1=-tg^2x \\ \\ -tg^2x=-tg^2x$
Что и требовалось доказать.

б)
$(sin4x-sin5x)-(sin6x-sin7x)= \\ \\ =2sin \frac{4x-5x}{2}cos \frac{4x+5x}{2}-2sin \frac{6x-7x}{2}cos \frac{6x+7x}{2}= \\ \\ =2sin(- \frac{x}{2} )cos4.5x-2sin(- \frac{x}{2} )cos6.5x= \\ \\ =2sin(- \frac{x}{2} )(cos4.5x-cos6.5x)= \\ \\ =-2sin( \frac{x}{2} )(-2sin \frac{4.5x+6.5x}{2}sin \frac{4.5x-6.5x}{2} )= \\ \\ =-2sin( \frac{x}{2} )(-2sin \frac{11x}{2} sin(- \frac{2x}{2} ))= \\ \\ =-4sin \frac{x}{2}sinxsin \frac{11x}{2}$
Что и требовалось доказать.

2.
$tg( \frac{x}{3}+ \frac{ \pi }{4} )+tg( \frac{x}{3}- \frac{ \pi }{4} )= \\ \\ = \frac{tg \frac{x}{3} +tg \frac{ \pi }{4} }{1-tg \frac{x}{3}tg \frac{ \pi }{4} }+ \frac{tg \frac{x}{3}-tg \frac{ \pi }{4} }{1+tg \frac{x}{3}tg \frac{ \pi }{4} }= \\ \\ = \frac{tg \frac{x}{3}+1 }{1-tg \frac{x}{3} }+ \frac{tg \frac{x}{3}-1 }{1+tg \frac{x}{3} }= \\ \\ = \frac{(tg \frac{x}{3}+1 )^2+(tg \frac{x}{3} -1)(1-tg \frac{x}{3} )}{(1-tg \frac{x}{3} )(1+tg \frac{x}{3} )}=$
$= \frac{(tg \frac{x}{3}+1 )^2-(tg \frac{x}{3}-1 )^2}{1-tg^2 \frac{x}{3} }= \frac{(tg \frac{x}{3}+1-tg \frac{x}{3}+1 )(tg \frac{x}{3}+1+tg \frac{x}{3}-1 )}{1-tg^2 \frac{x}{3} }= \\ \\ = \frac{2*2tg \frac{x}{3} }{1-tg^2 \frac{x}{3} }=2* \frac{2tg \frac{x}{3} }{1-tg^2 \frac{x}{3} }=2tg(2* \frac{x}{3} ) =2tg \frac{2x}{3}$

3.
2cos3x cos4x - cos7x=2cos3x cos4x - cos(3x+4x)=
=2cos3x cos4x -(cos3x cos4x - sin3x sin4x)=
=2cos3x cos4x - cos3x cos4x + sin3x sin4x =
= cos3x cos4x + sin3x sin4x= cos(3x-4x)=cos(-x)=cosx=
=cos(2*(x/2))=cos²(x/2)-sin²(x/2)=cos²(x/2)-(1-cos²(x/2))=
=cos²(x/2)-1+cos²(x/2)=2cos²(x/2)-1
2*(√0.8)² -1= 2*0.8 -1= 1.6-1=0.6

4.
Угол  х  находится в 3-ей четверти.
Знак в 3-ей четверти sinx - "-";  cosx - "-";  tgx - "+".

cos(π/2+x)= -sinx
-sinx = 12/13
 sinx=  - 12/13

$cosx= - \sqrt{1-sin^2x}=- \sqrt{1-(- \frac{12}{13} )^2}=- \sqrt{1- \frac{144}{169} }= \\ \\ =- \sqrt{ \frac{25}{169} }=- \frac{5}{13} \\ \\ tgx= \frac{sinx}{cosx}= \frac{-12}{13}:(- \frac{5}{13} )= \frac{12}{5}$

$tg2x= \frac{2tgx}{1-tg^2x}= \frac{2* \frac{12}{5} }{1-( \frac{12}{5} )^2}= \frac{ \frac{24}{5} }{1- \frac{144}{25} }= \frac{24}{5}:(- \frac{119}{25} )= \\ \\ =- \frac{24*5}{119}=- \frac{120}{119}$