Пусть дана треугольная пирамида SABC. По условию, угол ASB равен 90 градусов, то есть треугольник ASB прямоугольный. Так как пирамида правильная, AS=BS, треугольнык равнобедренный и его углы равны 45,45,90. В таком треугольнике катет SA в sqrt(2) меньше гипотенузы AB, AB=4sqrt(3), тогда SA=2sqrt(6). Пусть SO высота пирамиды, так как пирамида правильная, O - центр пирамиды. Высота AH проходит через O и является также медианой, а значит, делится точкой O в отношении 2:1, считая от вершины. Высота правильного треугольника равна a*sqrt(3)/2, где a - его сторона, в нашем случае AH=6, AO=2/3AH=4. Треугольник SAO прямоугольный, так как SO перпендикулярно (ABC) и перпендикулярно AO. В нем известны гипотенуза SA и катет AO. По теореме Пифагора найдем SO, SO=2sqrt(2)
Т.к. точка общая, то её координаты должны удовлетворять обоим уравнениям.
Выразим из уравнения прямой у.
у=-х-с
Подставим в уравнение окружности.
х²+(-х-с)²=32
х²+х²+2сх+с²=32
2х²+2сх+с²-32=0
Чтобы точка была одна, необходимо, чтобы уравнение имело 1 корень, а это выполняется тогда, когда дискриминант равен нулю
D=(2c)²-4*2(c²-32)=0
4c²-8c²+256=0
-4c²+256=0
c²=-256:(-4)
c²=64
c=±8
Ответ: -8;8
Т. к. высота в два раза больше стороны, к которой проведена, то высота равна 5*2=10(см).
площадь треугольника найдем по формуле S=1/2*a*h, где h - высота, а - сторона, к которой проведена высота.
S=1/2*a*h=1/2*5*10=25(см²)
ответ: 25 см²