Заметим, что если пара <em>(x₀, y₀)</em> – решение системы, то и пара <em>(x₀, -y₀)</em> также является решением системы. Доказывается это подстановкой <em>-y</em> вместо <em>y</em> в уравнения:
В первом уравнении рассмотрим только первые две скобки:
После замены <em>y</em> на <em>-y</em> сумма не изменилась, значит, уравнение осталось тоже неизменным.
Во втором уравнении при подстановке <em>-y</em> минус «съедается» квадратом, поэтому уравнение также остаётся неизменным.
Исходя из этого единственным решение бывает тогда, когда <em>y = -y</em>, то есть <em>y = 0.</em> Получаем такую систему:
Рассмотрим функцию на промежутке <em>-6 ≤ x ≤ 0</em>. Вершина этой параболы находится в точке с абсциссой -3, ось симметрии ровно посередине заданного промежутка. Значит, при <em>x = -3</em> парабола принимает ровно одно значение, а при всех остальных заданных <em>x</em> – ровно два. Отсюда единственность решения достигается:
1) <em>x = -3</em> (единственное решение первого уравнения), причём , иначе не будет решений второго уравнения;
2) <em>x = 0</em> (единственное решение второго уравнения).
Случай, когда первое уравнение имеет два решения, а второе – только одно из них, не достигается.
Случай 1 (<em>x = -3</em>):
При таком <em>a</em> - верно, значение подходит.
Случай 2: (x<em> = 0</em>):
.
Проверка значений параметра на посторонние решения:
При <em>a = 2</em> из второго уравнения следует, что <em>y = 0</em>, тогда из первого следует, что , это уравнение также имеет единственное решение.
При <em>a = -1</em> первое уравнение имеет вид . Рассмотрим функции и .
Нули производной:
Функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0. Значит, x = 0 – точка глобального минимума. Минимальное значение функции <em>f(0) = 2</em>. Значит, <em>E(f) = [2; +∞)</em>.
<em>g(x)</em> – парабола. При заданных ограничениях <em>E(g) = [-4; 2]</em>. Значит, решение первого уравнения существует, если:
Вид второго уравнения при <em>a = -1</em>: . Пара решений (-6; 0) не является его решением. Пара (0; 0) является его решением. Значит, система имеет единственное решение.
Ответ: -1; 2