Question

Укажите координаты максимума функции

Answer 1

Если я правильно поняла
$y=-4*x^\frac{3}{2}+12x^\frac{1}{2}-3$
Здесь есть ОДЗ $x\geqslant0$

Возьмем производную

$y'_x=-4*\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}+12*\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

$y'_x=-6\sqrt{x}+6\frac{1}{\sqrt{x}}$

Чтобы найти критические точки, приравняем к нулю производную

$-6\sqrt{x}+6\frac{1}{\sqrt{x}}=0$

Делим обе части на (-6).

$\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=0$

$\frac{x-1}{\sqrt{x}}=0$

x=1 - удовлетворяет ОДЗ. 

при $y'_x(0,5)=-6\sqrt{0,5}+\frac{6}{\sqrt{0,5}}$

$y'_x(0,5)=\frac{-6*0,5+6}{\sqrt{0,5}}$

$y'_x(0,5)=\frac{3}{\sqrt{0,5}}>0$

$y'_x(2)=-6\sqrt{2}+\frac{6}{\sqrt{2}}$

$y'_x(2)=\frac{-6*2+6}{\sqrt{2}}$

$y'_x(2)=\frac{-6}{\sqrt{2}}<0$

Значит при переходе через 1, производная меняет знак с + на -. Значит в этой точке реализуется максимум данной функции.

$y(1)=-4*1^\frac{3}{2}+12*1^\frac{1}{2}-3$

$y(1)=-4+12-3$

y(1)=5.

Ответ: (1; 5)