согласно теореме Виета
![a + c = - \frac{2}{3} \\ ac = \frac{k}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%20a%20%2B%20c%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%5C%5C%20ac%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bk%7D%7B3%7D%20)
1) сложим первое уравнение и равенство a-c=6, и найдем a:
![a + c + a - c = - \frac{2}{3} + 6 \\ 2a = \frac{16}{3} \\ a = \frac{8}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=a%20%2B%20c%20%2B%20a%20-%20c%20%3D%20%20%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%20%2B%206%20%5C%5C%202a%20%3D%20%20%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20a%20%3D%20%20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20)
из произведения корней выразим c через k
![\frac{8}{3} c = \frac{k}{3} \\ c = \frac{k}{8}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20c%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bk%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20c%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bk%7D%7B8%7D%20)
подставим c и k в равенство суммы корней
![\frac{8}{3} + \frac{k}{8} = - \frac{2}{3} \\ \frac{k}{8} = - \frac{10}{3} \\ k = - \frac{80}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%20%2B%20%20%5Cfrac%7Bk%7D%7B8%7D%20%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7Bk%7D%7B8%7D%20%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20k%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B80%7D%7B3%7D%20)
2) сложим сумму корней с равенством 3a-c=4
![4a = - \frac{2}{3} + 4 \\ a = \frac{5}{6}](https://tex.z-dn.net/?f=4a%20%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%20%2B%204%20%5C%5C%20a%20%3D%20%20%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%20)
выразим c через k
![\frac{5}{6} c = \frac{k}{3} \\ c = \frac{2k}{5}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%20c%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bk%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20c%20%3D%20%20%5Cfrac%7B2k%7D%7B5%7D%20)
отсюда подставим в сумму корней
![\frac{5}{6} + \frac{2k}{5} = - \frac{2}{3} \\ \frac{2k}{5} = - \frac{9}{6} = - \frac{3}{2} \\ k = - \frac{15}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%20%20%2B%20%20%5Cfrac%7B2k%7D%7B5%7D%20%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B2k%7D%7B5%7D%20%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B9%7D%7B6%7D%20%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%20k%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B15%7D%7B4%7D%20)
3) возведем сумму корней уравнения в квадрат
![{(a + c)}^{2} = {( - \frac{2}{3} )}^{2} \\ {a}^{2} + 2ac + {b}^{2} = \frac{4}{9}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%7B%28a%20%2B%20c%29%7D%5E%7B2%7D%20%20%3D%20%20%7B%28%20-%20%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%29%7D%5E%7B2%7D%20%20%5C%5C%20%20%7Ba%7D%5E%7B2%7D%20%20%2B%202ac%20%2B%20%20%7Bb%7D%5E%7B2%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%20)
подставим заданное
![{a}^{2} + {b}^{2} = 34](https://tex.z-dn.net/?f=%20%7Ba%7D%5E%7B2%7D%20%20%2B%20%20%7Bb%7D%5E%7B2%7D%20%20%3D%2034)
получим
![34 + 2ac = \frac{4}{9} \\ ac = \frac{2}{9} - 17 = - \frac{151}{9}](https://tex.z-dn.net/?f=34%20%2B%202ac%20%3D%20%20%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%20%20%5C%5C%20ac%20%3D%20%20%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%20%20-%2017%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B151%7D%7B9%7D%20)
это и есть произведение корней:
![\frac{k}{3} = - \frac{151}{9} \\ k = - \frac{151}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bk%7D%7B3%7D%20%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B151%7D%7B9%7D%20%20%20%5C%5C%20k%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B151%7D%7B3%7D%20)
4) как в предыдущем пункте возведем в квадрат сумму корней и разделим обе части равенства на ac:
![\frac{a}{c} + 2 + \frac{c}{a} = \frac{4}{9} \frac{1}{ac}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Ba%7D%7Bc%7D%20%20%2B%202%20%2B%20%20%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bac%7D%20)
подставляем заданное отношение корней
![\frac{a}{c} = - \frac{2}{5}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Ba%7D%7Bc%7D%20%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%20)
и исходное произведение корней
![- \frac{2}{5} + 2 - \frac{5}{2} = \frac{4}{9} \frac{3}{k} \\ - \frac{9}{10} = \frac{4}{3k} \\ k = - \frac{40}{27}](https://tex.z-dn.net/?f=%20-%20%20%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%20%20%2B%202%20-%20%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%20%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bk%7D%20%20%5C%5C%20%20-%20%20%5Cfrac%7B9%7D%7B10%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3k%7D%20%20%5C%5C%20k%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B40%7D%7B27%7D%20)