Question

дельта y=x^2+1 найти производную по определению

Answer 1

Определение:
$\lim_{dx \to 0} \frac{dy}{dx} = \lim_{dx \to0} \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$

нахождение производной:
у=х²+1
f(x)=x²+1
f(x+dx)=(x+dx)²+1=x²+2xdx+(dx)²+1

$\lim_{dx \to0} \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=\lim_{dx \to0} \frac{x^2+2xdx+(dx)^2+1-(x^2+1)}{dx}= \\ \\ =\lim_{dx \to0} \frac{x^2+2xdx+(dx)^2+1-x^2-1)}{dx}= \lim_{dx \to0} \frac{2xdx+(dx)^2}{dx}= \\ \\ =\lim_{dx \to0} \frac{dx(2x+dx)}{dx}= \lim_{dx \to0} (2x+dx)=2x+0=2x$