Question

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y=y0(нулевое) при x=x0(нулевое):
y`-3*x^2*y=e^(2x+x^3), y(0)=0

Answer 1

$y'-3x^2y=e^{2x+x^3} \\ y=uv; y'=u'v+uv' \\ u'v+uv'-3x^2uv=e^{2x+x^3} \\ \left \{ {{v'-3x^2v=0} \atop {u'v=e^{2x+x^3}}} \right. \\ \frac{dv}{dx} =3x^2v \\ \frac{dv}{v}=3x^2dx \\ lnv=x^3 \\ v=e^{x^3} \\ u'e^{x^3}=e^{2x+x^3} \\ \frac{du}{dx}=e^{2x} \\ du=e^{2x}dx \\ du= \frac{1}{2} e^{2x}d(2x) \\ u=\frac{1}{2} e^{2x}+C \\ y=uv=\frac{1}{2} e^{2x+x^3} +Ce^{x^3} \\\\ \frac{1}{2} e^{2*0+0^3} +Ce^{0^3} =0 \\ \frac{1}{2}+C=0 \\ C=-\frac{1}{2} \\\\ y=\frac{1}{2} e^{2x+x^3} - \frac{1}{2} e^{x^3}$