1. ![\frac{(3^x)^2}{9^{\frac{1}{2} }} -10*\frac{3^x}{3^2}+\frac{1}{3}\leq 0; \frac{1}{3}(3^x)^2-\frac{10}{9}*3^x+\frac{1}{3}\leq 0; t=3^x; t>0;\\ \frac{1}{3}t^2-\frac{10}{9}t+\frac{1}{3}\leq 0; 3t^2-10t+3\leq 0;](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%283%5Ex%29%5E2%7D%7B9%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D%7D%20-10%2A%5Cfrac%7B3%5Ex%7D%7B3%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleq%20%20%200%3B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%283%5Ex%29%5E2-%5Cfrac%7B10%7D%7B9%7D%2A3%5Ex%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleq%20%20%20%200%3B%20t%3D3%5Ex%3B%20t%3E0%3B%5C%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dt%5E2-%5Cfrac%7B10%7D%7B9%7Dt%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleq%20%20%20%200%3B%203t%5E2-10t%2B3%5Cleq%200%3B)
Теперь решим квадратное неравенство относительно t. Ограничение пока не трогаем. Решаем методом интервалов, для этого найдем нули функции ![f(t)=3t^2-10t+3](https://tex.z-dn.net/?f=f%28t%29%3D3t%5E2-10t%2B3)
![3t^2-10t+3=0; D_1=(-5)^2-3*3=25-9=16=4^2;\\ t=\frac{5+-4}{3};t_1=\frac{1}{3}; t_2=3](https://tex.z-dn.net/?f=3t%5E2-10t%2B3%3D0%3B%20D_1%3D%28-5%29%5E2-3%2A3%3D25-9%3D16%3D4%5E2%3B%5C%5C%20t%3D%5Cfrac%7B5%2B-4%7D%7B3%7D%3Bt_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%3B%20t_2%3D3)
Переходим к неравенству. ![3(t-\frac{1}{3})(t-3)\leq 0; (t-\frac{1}{3})(t-3)\leq 0;](https://tex.z-dn.net/?f=3%28t-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%29%28t-3%29%5Cleq%20%200%3B%20%28t-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%29%28t-3%29%5Cleq%20%200%3B)
В таком разложении есть важная особенность: знаки нам здесь можно и не проверять, так как во всех скобках при t коэффициент 1 и поэтому в правом промежутке будет "+", а дальше они будут чередоваться, так как при скобках нет четных степеней (т.е. у f(t) нет нулей четной кратности).
Имеем
или ![\frac{1}{3} \leq t \leq 3; \left \{ {{t \geq \frac{1}{3} } \atop {t \leq 3}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Cleq%20t%20%5Cleq%203%3B%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bt%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%7D%20%5Catop%20%7Bt%20%5Cleq%203%7D%7D%20%5Cright.)
Делаем обратную замену:![\left \{ {{3^x \geq 3^{-1}} \atop {3^x \leq 3^1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x \geq -1} \atop {x \leq 1}} \right. \Rightarrow x \in[-1;1]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B3%5Ex%20%5Cgeq%203%5E%7B-1%7D%7D%20%5Catop%20%7B3%5Ex%20%5Cleq%203%5E1%7D%7D%20%5Cright.%20%20%5CRightarrow%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%20%5Cgeq%20-1%7D%20%5Catop%20%7Bx%20%5Cleq%201%7D%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20x%20%5Cin%5B-1%3B1%5D)
Знаки не менялись, потому что
- монотонно возрастающая функция (3>1).
Ответ: ![\boxed {x \in[-1;1]}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%20%7Bx%20%5Cin%5B-1%3B1%5D%7D)
2. ![3*(3^x)^2-8*3^x*5^x+5*(5^x)^2\geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=3%2A%283%5Ex%29%5E2-8%2A3%5Ex%2A5%5Ex%2B5%2A%285%5Ex%29%5E2%5Cgeq%200)
Напоминает тригонометрию, где слева квадрат синуса, например, а справа - квадрат косинуса. Решается делением на квадрат правого. В данном случае это
, поэтому знак неравенства не поменяется.
![3*((\frac{3}{5})^x )^2-8*(\frac{3}{5} )^x+5\geq 0; t=(\frac{3}{5})^x; t>0;\\ 3t^2-8t+5\geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=3%2A%28%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%29%5Ex%20%29%5E2-8%2A%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%20%29%5Ex%2B5%5Cgeq%200%3B%20t%3D%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%29%5Ex%3B%20t%3E0%3B%5C%5C%20%203t%5E2-8t%2B5%5Cgeq%200)
Решать будем снова методом интервалов, снова пока на ограничение не смотрим. Найдем нули ![f(t)=3t^2-8t+5](https://tex.z-dn.net/?f=f%28t%29%3D3t%5E2-8t%2B5)
Сразу видно, что сумма коэффициентов в уравнении
равна 0 (3-8+5=0), следовательно,
- один корень, а второй ![t=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=t%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D)
Теперь имеем:
![3(t-1)(t-\frac{5}{3})\geq 0; (t-1)(t-\frac{5}{3})\geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=3%28t-1%29%28t-%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%29%5Cgeq%20%200%3B%20%28t-1%29%28t-%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%29%5Cgeq%20%200)
Здесь снова при t коэффициенты равны 1, в правом промежутке (с +∞) знак "+", а дальше чередование.
![\boxed {t \in (-\infty;1]\cup[\frac{5}{3}; +\infty)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%20%7Bt%20%5Cin%20%28-%5Cinfty%3B1%5D%5Ccup%5B%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%3B%20%2B%5Cinfty%29%7D)
По-другому мы можем это записать таким образом:
![\left [ {{t<1} \atop {t>\frac{5}{3} }} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5B%20%7B%7Bt%3C1%7D%20%5Catop%20%7Bt%3E%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%20%7D%7D%20%5Cright.)
Делаем обратную замену:
![\left [ {{(\frac{3}{5})^x\leq (\frac{3}{5})^0 } \atop {(\frac{3}{5})^x\geq (\frac{3}{5})^{-1} }} \right. ;](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5B%20%7B%7B%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%29%5Ex%5Cleq%20%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%29%5E0%20%20%7D%20%5Catop%20%7B%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%29%5Ex%5Cgeq%20%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%29%5E%7B-1%7D%20%7D%7D%20%5Cright.%20%3B)
Вот здесь надо понимать, что
, функция
- монотонно убывающая, поэтому знаки придется менять.
Тогда получим:
![\left [ {{x \geq 0} \atop {x \leq -1}} \right. \Rightarrow x \in (-\infty;-1] \cup [0;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5B%20%7B%7Bx%20%5Cgeq%200%7D%20%5Catop%20%7Bx%20%5Cleq%20-1%7D%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20x%20%5Cin%20%28-%5Cinfty%3B-1%5D%20%5Ccup%20%5B0%3B%2B%5Cinfty%29)
Ответ: ![\boxed {x \in (-\infty;-1] \cup [0;+\infty)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%20%7Bx%20%5Cin%20%28-%5Cinfty%3B-1%5D%20%5Ccup%20%5B0%3B%2B%5Cinfty%29%7D)