Правильно: шестнадцать и восемнадцать, проверено по словарю.
А ТЕПЕРЬ КОММЕНТАРИЙ
Орфографический словарь - это, конечно, вещь нужная. А кроме словаря, даже правило существует: в числительных восемнадцать/восемьдесят и шестнадцать/шестьдесят пишется один мягкий знак (в середине или в конце).
Так договорились, чтобы было мягких знаков не слишком много? Да нет же, дело не в договоренности, просто надо доверять своему слуху. Конечно, мы не каждый мягкий звук обозначаем мягким знаком, но вот конечный согласный пишется по слуху всегда. Да и в середине слова числительные восемнадцать/восемьдесят звучат по-разному (твердо и мягко), и позиция у звука М в слове "восемнадцать" сильная - перед твердым Н звук пишется по слуху.
Поэтому делаем вывод: написание числительных можно проверить и запомнить, но еще лучше сначала понять, а потом проверить и запомнить. Тогда, может быть, и запоминать не придется.
Итак, орфография соответствует произношению, но почему мы по-разному произносим слова? Ответ простой: перед твердым Н произнести мягкий М просто невозможно (восемнадцать), а перед мягким Д очень даже удобно (восемьдесят).