Да, потому что это соответствует определению функции: у вас область определения - натуральные числа. И каждому натуральному числу х соответствует одно значение у равное х^2. Так что это функция. Только, как правило, функции заданные на множестве натуральных чисел называют последовательностями.
Обозначим
- (это число действительное, как сумма действительных чисел, корень кубический из любого действительного числа - число действительное, корень квадратный с положительного число - действительное число)
Возведем в куб (пользуясь формулой куба двучлена в виде
)
, получим
![A^3=(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}})^3=\\\\ (\sqrt[3]{9+\sqrt{80}})^3+3*(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}})*\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}*\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}+(\sqrt[3]{9-\sqrt{80}})^3=\\\\ 9+\sqrt{80}+3*A*\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}+9-\sqrt{80}=\\\\ 18+3*A*\sqrt[3]{(9^2-(\sqrt{80})^2}=\\\\ 18+3*A*\sqrt[3]{81-80}=\\\\ 18+3A*1=18+3A](https://tex.z-dn.net/?f=A%5E3%3D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B9%2B%5Csqrt%7B80%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B9-%5Csqrt%7B80%7D%7D%29%5E3%3D%5C%5C%5C%5C%20%28%5Csqrt%5B3%5D%7B9%2B%5Csqrt%7B80%7D%7D%29%5E3%2B3%2A%28%5Csqrt%5B3%5D%7B9%2B%5Csqrt%7B80%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B9-%5Csqrt%7B80%7D%7D%29%2A%5Csqrt%5B3%5D%7B9%2B%5Csqrt%7B80%7D%7D%2A%5Csqrt%5B3%5D%7B9-%5Csqrt%7B80%7D%7D%2B%28%5Csqrt%5B3%5D%7B9-%5Csqrt%7B80%7D%7D%29%5E3%3D%5C%5C%5C%5C%209%2B%5Csqrt%7B80%7D%2B3%2AA%2A%5Csqrt%5B3%5D%7B%289%2B%5Csqrt%7B80%7D%29%289-%5Csqrt%7B80%7D%29%7D%2B9-%5Csqrt%7B80%7D%3D%5C%5C%5C%5C%2018%2B3%2AA%2A%5Csqrt%5B3%5D%7B%289%5E2-%28%5Csqrt%7B80%7D%29%5E2%7D%3D%5C%5C%5C%5C%2018%2B3%2AA%2A%5Csqrt%5B3%5D%7B81-80%7D%3D%5C%5C%5C%5C%2018%2B3A%2A1%3D18%2B3A)
откуда получили что для данного А, справедливо уравнение(решим его)
![A^3=18+3A;\\\\A^3-3A-18=0;\\\\A^3-3A^2+3A^2-9A+6A-18=0;\\\\A^2(A-3)+3A(A-3)+6(A-3)=0;\\\\(A-3)(A^2+3A+6)=0](https://tex.z-dn.net/?f=A%5E3%3D18%2B3A%3B%5C%5C%5C%5CA%5E3-3A-18%3D0%3B%5C%5C%5C%5CA%5E3-3A%5E2%2B3A%5E2-9A%2B6A-18%3D0%3B%5C%5C%5C%5CA%5E2%28A-3%29%2B3A%28A-3%29%2B6%28A-3%29%3D0%3B%5C%5C%5C%5C%28A-3%29%28A%5E2%2B3A%2B6%29%3D0)
откуда либо А-3=0, А=3 - действительное число
либо
- уравнение действительных корней не имеет,
значит А=3, т.е.
, что и требовалось доказать
ОДЗ:
![\left \{ {{x+4\ \textgreater \ 0} \atop {x-3\ \textgreater \ 0}} \right. \\ \left \{ {{x\ \textgreater \ -4} \atop {x\ \textgreater \ 3}} \right. \Rightarrow x\in(3;+\infty)\\](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx%2B4%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%7D+%5Catop+%7Bx-3%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%7D%7D+%5Cright.+%5C%5C%0A+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx%5C+%5Ctextgreater+%5C+-4%7D+%5Catop+%7Bx%5C+%5Ctextgreater+%5C+3%7D%7D+%5Cright.+%5CRightarrow+x%5Cin%283%3B%2B%5Cinfty%29%5C%5C+)
Воспользуемся следующим свойством логарифмов:
![log_ab - log_ac = log_a \frac{b}{c} \\\\ lg(x+4)-lg(x-3)=lg8\\ lg \frac{x+4}{x-3}=lg8](https://tex.z-dn.net/?f=log_ab+-+log_ac+%3D+log_a+%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%7D+%5C%5C%5C%5C%0Alg%28x%2B4%29-lg%28x-3%29%3Dlg8%5C%5C%0Alg++%5Cfrac%7Bx%2B4%7D%7Bx-3%7D%3Dlg8+)
Справа и слева получили логарифм по одному и тому же основанию 10. Поэтому:
![\frac{x+4}{x-3}=8\\ x+4=8(x-3)\\ x+4=8x-24\\ x-8x=-24-4\\ -7x=-28 |:(-7)\\ x=4 ](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%2B4%7D%7Bx-3%7D%3D8%5C%5C%0Ax%2B4%3D8%28x-3%29%5C%5C%0Ax%2B4%3D8x-24%5C%5C%0Ax-8x%3D-24-4%5C%5C%0A-7x%3D-28+%7C%3A%28-7%29%5C%5C%0Ax%3D4%0A)
Полученный корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: x=4