Question

Тема: Произведение и частное комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
Умножьте комплексные числа:
z₁=√3/2(cos 5π/3 + i sin 5π/3) на z₂=2/√3(cos 2π/3 + i sin 2π/3)

Answer 1

$z_1= \frac{\sqrt3}{2}\cdot (cos\frac{5\pi }{3}+i\cdot sin\frac{5\pi }{3})\\\\z_2=\frac{2}{\sqrt3}\cdot (cos\frac{2\pi}{3}+i\cdot sin\frac{2\pi }{3})\\\\z_1\cdot z_2=r_1\cdot r_2\cdot (cos(\varphi _1+\varphi _1)+i\cdot sin(\varphi _1+\varphi _2))\\\\z_1\cdot z_2=\frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt3}\cdot (cos(\frac{5\pi }{3}+\frac{2\pi }{3})+i\cdot sin(\frac{5\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}))=\\\\=cos\frac{7\pi }{3}+i\cdot sin\frac{7\pi }{3}=cos\frac{\pi}{3}+i\cdot sin\frac{\pi}{3}$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot (cos(\varphi _1-\varphi _2)+i\cdot sin(\varphi _1-\varphi _2))\\\\\frac{z_1}{z_2}=\frac{3}{4}\cdot (cos\pi +i\cdot sin\pi )$

Answer 2

$z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}*[cos(\frac{5\pi}{3})+i*sin(\frac{5\pi}{3})]=\frac{\sqrt{3}}{2}*e^{i*\frac{5\pi}{3}}\\\\ z_2=\frac{2}{\sqrt{3}}*[cos(\frac{2\pi}{3})+i*sin(\frac{2\pi}{3})]=\frac{2}{\sqrt{3}}*e^{i*\frac{2\pi}{3}}\\\\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}*e^{i*\frac{5\pi}{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}*e^{i*\frac{2\pi}{3}}}=\frac{3}{4}*e^{i*\frac{5\pi}{3}-i*\frac{2\pi}{3}}=\frac{3}{4}*e^{i*\pi}=\frac{3}{4}*[cos(\pi)+i*sin(\pi)].$

$z_1*z_2=\frac{\sqrt{3}}{2}*e^{i*\frac{5\pi}{3}}*\frac{2}{\sqrt{3}}*e^{i*\frac{2\pi}{3}}=1*e^{i*\frac{5\pi}{3}+i*\frac{2\pi}{3}}=e^{i*\frac{7\pi}{3}}=e^{i*(2\pi+\frac{\pi}{3})}=\\\\ =e^{i*\frac{\pi}{3}}=cos(\frac{\pi}{3})+i*sin(\frac{\pi}{3})$