Синонимы и антонимы к слову бежать зависят от значения, в котором употребляется само слово "бежать".
1) Бежать - двигаться быстро, резко отталкивающимся от земли (или другой поверхности) шагом.
Синонимы: мчаться, нестись, трусить, дуть, чесать.
Антонимы: ползти, ковылять.
2) Бежать - стараться сделать что-либо или попасть куда-либо быстрее.
Синонимы: спешить, торопиться, поторапливаться, гнать.
Антонимы: медлить, возиться.
3) Бежать - о времени.
Синонимы: течь, торопиться, лететь.
Антонимы: стоять, тянуться.
4) Бежать - о желании не встречаться с чем-либо или кем-либо.
Синонимы: сбежать, убежать, свалить, избежать, сторониться, шарахаться (от кого-либо), чуждаться.
Антонимы: приближаться, тянуться (к кому-либо).