Пусть
— четырёхугольная пирамида, в основании которой ромб
Меньшая диагональ ромба
и острый угол ![\angle BAD = \alpha.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+BAD+%3D+%5Calpha.)
высота пирамиды, значит,
, следовательно
так как ![OK \in (ABCD),](https://tex.z-dn.net/?f=OK+%5Cin+%28ABCD%29%2C)
— проекция
на плоскость ![(ABCD),](https://tex.z-dn.net/?f=%28ABCD%29%2C)
⇒ по теореме о трёх перпендикуляров (ТТП)
, следовательно,
— линейный угол двугранного угла при ребре
так как все двугранные углы при основании равны, то точка О — центр вписанной окружности, то есть ![OK = r.](https://tex.z-dn.net/?f=OK+%3D+r.)
Найти:![1) \ S_{_{\Pi}} - ? \ 2) \ SO - ?](https://tex.z-dn.net/?f=1%29+%5C+S_%7B_%7B%5CPi%7D%7D+-+%3F+%5C+2%29+%5C+SO+-+%3F)
Решение. Ромб
состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников: ![\triangle AOD = \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctriangle+AOD+%3D+%5Ctriangle+AOB+%3D+%5Ctriangle+BOC+%3D+%5Ctriangle+COD.)
Рассмотрим ![\triangle AOD (\angle AOD = 90^{\circ}):](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctriangle+AOD+%28%5Cangle+AOD+%3D+90%5E%7B%5Ccirc%7D%29%3A)
![OD = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{a}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=OD+%3D+%5Cdfrac%7BBD%7D%7B2%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2%7D)
![\angle OAD = \dfrac{\angle BAD}{2} = \dfrac{\alpha}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+OAD+%3D+%5Cdfrac%7B%5Cangle+BAD%7D%7B2%7D+%3D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D)
![\text{sin} \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{OD}{AD} \Rightarrow AD = \dfrac{OD}{\text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctext%7Bsin%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D+%3D+%5Cdfrac%7BOD%7D%7BAD%7D+%5CRightarrow+AD+%3D+%5Cdfrac%7BOD%7D%7B%5Ctext%7Bsin%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2+%5Ctext%7Bsin%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D)
![\text{tg} \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{OD}{AO} \Rightarrow AO = \dfrac{OD}{\text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctext%7Btg%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D+%3D+%5Cdfrac%7BOD%7D%7BAO%7D+%5CRightarrow+AO+%3D+%5Cdfrac%7BOD%7D%7B%5Ctext%7Btg%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2+%5Ctext%7Btg%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D)
Значит, диагональ ![AC = 2AO = \dfrac{2a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{\text{tg} \dfrac{\alpha}{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=AC+%3D+2AO+%3D+%5Cdfrac%7B2a%7D%7B2+%5Ctext%7Btg%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba%7D%7B%5Ctext%7Btg%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D)
Рассмотрим ![\triangle COD (\angle COD = 90^{\circ}):](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctriangle+COD+%28%5Cangle+COD+%3D+90%5E%7B%5Ccirc%7D%29%3A)
![r = OK = \dfrac{CO \ \cdotp OD}{CD} = \dfrac{\dfrac{a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} \ \cdotp \dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \cdotp 2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}{4a \ \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=r+%3D+OK+%3D+%5Cdfrac%7BCO+%5C+%5Ccdotp+OD%7D%7BCD%7D+%3D+%5Cdfrac%7B%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2+%5Ctext%7Btg%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D+%5C+%5Ccdotp+%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2%7D%7D%7B%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2+%5Ctext%7Bsin%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba%5E%7B2%7D+%5C+%5Ccdotp+2+%5Ctext%7Bsin%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D%7B4a+%5C+%5Ctext%7Btg%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba+%5C+%5Ctext%7Bcos%7D+%5Cdfrac%7B+%5Calpha%7D%7B2%7D%7D%7B2%7D)
Высота ромба ![BM = 2OK = \dfrac{2a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2} }{2} = a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=BM+%3D+2OK+%3D+%5Cdfrac%7B2a+%5C+%5Ctext%7Bcos%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%3D+a+%5C+%5Ctext%7Bcos%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D)
Площадь основания пирамиды ![S_{_{\text{O}}} = BO \ \cdotp CD = a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2} \ \cdotp \dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a^{2} \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2}}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7B_%7B%5Ctext%7BO%7D%7D%7D+%3D+BO+%5C+%5Ccdotp+CD+%3D+a+%5C+%5Ctext%7Bcos%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D+%5C+%5Ccdotp+%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2+%5Ctext%7Bsin%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba%5E%7B2%7D+%5C+%5Ctext%7Bcos%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D%7B2+%5Ctext%7Bsin%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba%5E%7B2%7D+%5C+%5Ctext%7Bctg%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D%7B2%7D)
Рассмотрим ![\triangle SOK (\angle SOK = 90^{\circ}):](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctriangle+SOK+%28%5Cangle+SOK+%3D+90%5E%7B%5Ccirc%7D%29%3A)
![\text{tg} \beta = \dfrac{SO}{OK} \Rightarrow SO = OK \text{tg} \beta = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2} \text{tg} \beta}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctext%7Btg%7D+%5Cbeta+%3D+%5Cdfrac%7BSO%7D%7BOK%7D+%5CRightarrow+SO+%3D+OK+%5Ctext%7Btg%7D+%5Cbeta+%3D+%5Cdfrac%7Ba+%5C+%5Ctext%7Bcos%7D+%5Cdfrac%7B+%5Calpha%7D%7B2%7D+%5Ctext%7Btg%7D+%5Cbeta%7D%7B2%7D)
![\text{cos}\beta = \dfrac{OK}{SK} \Rightarrow SK = \dfrac{OK}{\text{cos}\beta} = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2}}{2 \text{cos}\beta}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctext%7Bcos%7D%5Cbeta+%3D+%5Cdfrac%7BOK%7D%7BSK%7D+%5CRightarrow+SK+%3D+%5Cdfrac%7BOK%7D%7B%5Ctext%7Bcos%7D%5Cbeta%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba+%5C+%5Ctext%7Bcos%7D+%5Cdfrac%7B+%5Calpha%7D%7B2%7D%7D%7B2+%5Ctext%7Bcos%7D%5Cbeta%7D)
Определим площадь треугольника ![SDC:](https://tex.z-dn.net/?f=SDC%3A)
![S_{_{\triangle SDC}} = \dfrac{SK \ \cdotp CD}{2} = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2} \ \cdotp a}{2 \ \cdotp 2 \text{cos}\beta \ \cdotp 2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2}}{8\text{cos}\beta \ \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{8\text{cos}\beta}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7B_%7B%5Ctriangle+SDC%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7BSK+%5C+%5Ccdotp+CD%7D%7B2%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba+%5C+%5Ctext%7Bcos%7D+%5Cdfrac%7B+%5Calpha%7D%7B2%7D+%5C+%5Ccdotp+a%7D%7B2+%5C+%5Ccdotp+2+%5Ctext%7Bcos%7D%5Cbeta+%5C+%5Ccdotp+2+%5Ctext%7Bsin%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba%5E%7B2%7D+%5C+%5Ctext%7Bcos%7D+%5Cdfrac%7B+%5Calpha%7D%7B2%7D%7D%7B8%5Ctext%7Bcos%7D%5Cbeta+%5C+%5Ctext%7Bsin%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba%5E%7B2%7D+%5Ctext%7Bctg%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D%7B8%5Ctext%7Bcos%7D%5Cbeta%7D)
Из-за того, что у ромба все стороны равны и все двугранные углы при основании равны, то все боковые грани пирамиды будут тоже равны. Следовательно, площадь боковой поверхности ![S_{_{\text{B}}} = 4S_{_{\triangle SDC}} = \dfrac{4a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{8\text{cos}\beta} = \dfrac{a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2\text{cos}\beta}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7B_%7B%5Ctext%7BB%7D%7D%7D+%3D+4S_%7B_%7B%5Ctriangle+SDC%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7B4a%5E%7B2%7D+%5Ctext%7Bctg%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D%7B8%5Ctext%7Bcos%7D%5Cbeta%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba%5E%7B2%7D+%5Ctext%7Bctg%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D%7B2%5Ctext%7Bcos%7D%5Cbeta%7D)
Теперь, зная площадь основания и боковой поверхности пирамиды можно найти площадь полной поверхности:
![S_{_{\Pi}} = S_{_{\text{O}}} + S_{_{\text{B}}} = \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2} + \dfrac{a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2\text{cos}\beta} = \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2} (\text{cos} \beta + 1)}{2\text{cos} \beta}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7B_%7B%5CPi%7D%7D+%3D+S_%7B_%7B%5Ctext%7BO%7D%7D%7D+%2B+S_%7B_%7B%5Ctext%7BB%7D%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba%5E%7B2%7D+%5C+%5Ctext%7Bctg%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D%7B2%7D+%2B+%5Cdfrac%7Ba%5E%7B2%7D+%5Ctext%7Bctg%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%7D%7B2%5Ctext%7Bcos%7D%5Cbeta%7D+%3D+%5Cdfrac%7Ba%5E%7B2%7D+%5C+%5Ctext%7Bctg%7D+%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D+%28%5Ctext%7Bcos%7D+%5Cbeta+%2B+1%29%7D%7B2%5Ctext%7Bcos%7D+%5Cbeta%7D)
Ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна
высота пирамиды равна ![\dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2} \text{tg} \beta}{2}.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7Ba+%5C+%5Ctext%7Bcos%7D+%5Cdfrac%7B+%5Calpha%7D%7B2%7D+%5Ctext%7Btg%7D+%5Cbeta%7D%7B2%7D.)
ВС
АДЕ
СД=ДЕ , значит треугольник СДЕ равнобедренный и у него угол Е= 53 0 и значит угол угол ДСЕ= 530 . Следовательно угол СДЕ = 180 -53-53=740 . Угол параллелограмма СДА + угол СДЕ=180 , так как смежные , значит угол СДА= 180-74=106 0он и будет наибльший, так как другой угол параллелограмма 740
Ответ 1060
∠BDB₁ = 60°
ΔBDB₁ : ∠B₁ = 30° ⇒ DB₁ = 2DB = 8;
BB₁ = DB₁ ·sin60° = 4√3 ⇒AA₁ = 4√3
ΔABD со сторонами 3, 4, 5 - египетский прямоугольный, т.е. ∠ABD = 90°.
ΔABO: AB = 3, BO = 2 ⇒AO = √13 по теореме Пифагора
⇒ AC = 2√13
ΔAA₁C : A₁C = √(AA₁² + AC²) = √(48 + 52) = √100 = 10
Ответ: DB₁ = 8, A<span>₁C = 10</span>
ПРЯМАЯ С ПЕРЕСЕКАЕТ ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ИХ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРИНАДЛЕЖАТ ПЛОСКОСТИ ЭТИХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРМЫХ,(ЕСЛИ ДВЕ ТОКИ ПРИНАДЛЖЕАТ ПЛОСКОСТИ, ТО ПРЯМАЯ, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ ЭТИ ТОЧКИ, ЛЕЖИТ В ЭТО ПЛОСКОСТИ
Ответ:45.30.105
Объяснение:сумма углов треугольника 180 градусов
Всего долей 3+2+7=12
180:12=15
N=15*3=45
R=15*2=30
M=15*7=105