Рисунок во вложении.
![S=\iint\limits_Ddxdy](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%5Ciint%5Climits_Ddxdy)
Сведём данный интеграл к повторному.
![\iint\limits_Ddxdy=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx\int\limits_{f_1(x)}^{f_2(x)}dy](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ciint%5Climits_Ddxdy%3D%5Cint%5Climits_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7Ddx%5Cint%5Climits_%7Bf_1%28x%29%7D%5E%7Bf_2%28x%29%7Ddy)
Сначала нам нужно узнать в какие пределах изменяется х, для этого найдём точки пересечения графиков(на рисунке это точки х1 и х2):
2sinx=1
sinx=1/2
x=(-1)^n * arcsin(1/2) + π*n, n∈Z
Из этого уравнения выбираем точки которые входят в промежуток от [0;pi]:
n=0 => x=arcsin(1/2)=π/6 (x1 на рисунке)
n=1=> x=-arcsin(1/2)+π=-π/6+π=5π/6 (х2 на рисунке)
Это и буду наши пределы интегрирования по х.
Теперь нам нужно узнать в какие пределах у нас изменяется y, для этого на рисунке проведём прямую проходящую через нашу фигуру и параллельную оси y. Теперь смотрим через какую линию она входит, и через какую выходит. Входит наша прямая через линию х=1, а выходит через линию y=2sinx, значит у изменяется от 1 до 2sinx. Ну вот и всё, нашли пределы интегрирования, подставляем и считаем:
![S=\iint\limits_Ddxdy=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}dx\int\limits_{1}^{2sinx}dy=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}(y|^{2sinx}_1)dx=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}(2sinx-1)dx=\\=(-2cosx-x)|^{\frac{5\pi}{6}}_{\frac{\pi}{6}}=-2cos\frac{5\pi}{6}-\frac{5\pi}{6}-(-2cos\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6})=\\=-2*(-\frac{\sqrt{3}}{2})-\frac{5\pi}{6}+2*\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6}=2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%5Ciint%5Climits_Ddxdy%3D%5Cint%5Climits_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B6%7D%7Ddx%5Cint%5Climits_%7B1%7D%5E%7B2sinx%7Ddy%3D%5Cint%5Climits_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B6%7D%7D%28y%7C%5E%7B2sinx%7D_1%29dx%3D%5Cint%5Climits_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B6%7D%7D%282sinx-1%29dx%3D%5C%5C%3D%28-2cosx-x%29%7C%5E%7B%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B6%7D%7D_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%7D%3D-2cos%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B6%7D-%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B6%7D-%28-2cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%29%3D%5C%5C%3D-2%2A%28-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%29-%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B6%7D%2B2%2A%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%3D2%5Csqrt%7B3%7D-%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D)