Дан тетраэдр ABCD. Точка К-середина медианы DM треугольника ADC. Выразите вектор ВК через векторы а=ВА, d=BD, c=BC. Пожалуйста п
олное решение с рисунком
1 ответ:
Читайте также
<span>1) </span>
Радиус вписанной окружности<span> правильного многоугольника совпадает с его <u>апофемой</u> (т.е. <em>перпендикуляром, опущенным из центра на любую сторону</em>) </span>
<span>Правильный шестиугольник можно разделить на 6 правильных треугольников. Его площадь равна площади 6 таких треугольников и <u>S(шестиугольника)=6•S (треуг)</u> </span>
Нам известен <em>радиус</em> вписанной в шестиугольник окружности, т.е. высота правильного треугольника АОВ (см. рисунок). Для нахождения площади правильного треугольника воспользуемся формулой
Тогда дм²
––––––––––
2)
По условию
Примем коэффициент отношения радиусов окружностей равным <em>а</em>. Тогда радиус первой равен <em>5а</em>, второй –<em>3а</em>
5a-3a=40⇒
<em>a</em>=<em>20 см</em>
r1=100 см=1м
S1=π•1²=<em>π</em> м²
60 см=0,6 м
S2=π•(0,6)²=<em>0,36</em> м²
–––––––––––
3)
<span> <em><u>Найдите площадь сегмента круга</u>, радиуса 4 см, если его хорда равна 4√2 см</em></span>
<span>Пусть центр круга О, хорда - АВ. </span>
АО=ВО ⇒∆ АОВ - равнобедренный
По т.косинусов АВ²=АО²+ВО²- 2АО•ВО•cos∠AOB
32=2•16-2•16•cosAOB⇒
cos AOB=0, ⇒ ∠АОВ=90°.
Площадь искомого сегмента равна разности площадей сектора с углом 90° и прямоугольного ∆ АОВ.
Градусная мера полного круга 360°, значит, площадь сектора с углом 90°=1/4 площади круга
<u>S сектора</u>=16π:4=<em>4π</em>
<u>S ∆ АОВ</u>=4•4:2=<em>4•2</em>
<u>S сегм</u>=<em>4π-4•2</em>=4(π-2)= ≈<em>4,566</em> см²
4)
Отношения отрезков сторон треугольника АВС, на которые их делят данные точки, одинаковы.
Примем коэффициент отношения отрезков сторон равным а.
Тогда <em>АВ=7а</em>.
Треугольники у вершин подобны треугольнику АВС, т.к. имеют общую вершину и стороны исходного треугольника пропорциональны сторонам треугольников, «<em>отсекаемых</em>» от него у вершин, с коэффициентом подобия <em>7:2</em>, Поэтому эти <em>отсекаемые</em> треугольники <u>равновелики</u>.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
k=АВ:ВК=7:2 ⇒
S (ABC):S(BKM)=k²= 49/4
245:S(BKM)=49:4⇒
S(Δ BKM)=20
S(ТКМОНР)=245-3•20=185 мм²
Объем пирамиды вычисляется по формуле
В данном случае площадь основания пирамиды вычислить легко по формуле площади треугольника
Теперь надо найти высоту пирамиды. Сделать это непросто. Так как нужно узнать: где находится основание высоты пирамиды.
Пусть SO - высота пирамиды. АВС - треугольник в основании пирамиды. Рассмотрим 3 треугольника SOA, SOB, SOC. Все эти треугольники прямоугольные. Так как SO перпендикулярно плоскости основания, а значит перпендикулярно любой прямой в плоскости основания. Далее, SO - общий катет этих прямоугольных треугольников. SA=SB=SC=8 - по условию задачи. Значит эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Поэтому другие катеты равны тоже между собой OA=OB=OC. Точка О - является центром описанной окружности. Так как расстояние от точки до любой вершины треугольника АВС одно и то же. Найти радиус описанной окружности можно по разным формулам. Можно воспользоваться следующей формулой
Здесь a, b, и c - стороны треугольника АВС.
Две стороны нам известны. Надо найти третью сторону треугольника АВС.
Найдем ее по теореме косинусов
c=7
Значит третья сторона треугольника равна 7.
Подставляем в формулу (*)
Нашли катет прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, боковым ребром и стороной, лежащей в основании пирамиды.
Теперь нам известны гипотенуза прямоугольного треугольника (это боковое ребро пирамиды 8), катет (это радиус описанной окружности треугольника АВС, 7). Осталось найти другой катет (высоту пирамиды). По теореме Пифагора
Подставим известные значения в формулу (**)
Ответ: