Question

Напишіть Дано,Знайти та Розв'язання.
1.Радіуси основи конуса 4 см його висота 6 см.Знайти об'єм.
2.Осьовий переріз конуса правильний трикутник площа,якого = $4\sqrt{3}$$cm^{2}$.Знайти об'єм.
3 Осьовий переріз конуса рівнобедрений трикутник висота якого =H,а кут при вершині α.Знайти об'єм.

Answer 1

1.
$R=4\ sm;\\ H=6\ sm;\\ V=\frac13\cdot S\cdot H;\\ S=\pi R^2;\\ V=\frac13\cdot S\cdot H=\frac13\cdot\pi\cdot4^2\cdot6(sm^3)=\frac{\pi\cdot16\cdot6}{3}=16\cdot2\cdot\pi=32\pi;$


2.
$S=4\sqrt3;\\ S=\frac12\cdot a\cdot h_a;\\ h_a=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt3a}{2};\\ S=\frac12\cdot a\cdot\frac{\sqrt3a}{2}=\frac{\sqrt3a^2}{4};\\ a^2=\frac{4S}{\sqrt3};\ \ a=2\sqrt{\frac{S}{\sqrt3}};\\ R=\frac a2=\sqrt{\frac{S}{\sqrt3}};\\ H=\frac{\sqrt3a}{2}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot2\cdot\sqrt{\frac{S}{\sqrt3}}=\sqrt{\frac{3S}{\sqrt3}}=\sqrt{\sqrt3\cdot S};$
$V=\frac13\cdot\pi\cdot R^2\cdot H=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{S}{\sqrt3}\cdot\sqrt{\sqrt3\cdot S}=\\ =\frac{\pi}{3}\cdot\sqrt{\frac{\sqrt3\cdot S^3}{3}}=\frac{\pi}{3}\cdot\sqrt{\frac{S^3}{\sqrt3}}=\frac{\pi}{3}\cdot\sqrt{\frac{(4\sqrt3)^3}{\sqrt3}}=\frac{\pi}{3}\cdot\sqrt{\frac{4^3\cdot3\sqrt3}{\sqrt3}}=\frac{\pi}{3}\cdot\sqrt{4^3\cdot3}=\\ =\frac{\pi}{3}\cdot\sqrt{(2^2)^3\cdot3}=\frac{\pi}{3}\cdot\sqrt{(2^3)^2\cdot3}=\frac{\pi}{3}\cdot2^3\cdot\sqrt3=\frac83\pi\sqrt3;\\ V=\frac83\pi\sqrt3$


3.
$H;\\ \alpha;\\ R=H\cdot tg\frac\alpha2;\\ V=\frac13\cdot\pi\cdot R^2\cdot H=\frac13\cdot\pi\cdot H^2tg^2\frac\alpha2\cdot H=\\ =\frac{H^3}{3}\cdot\pi\cdot tg^2\frac\alpha2;\\ tg^2\frac{a\lpha}{2}=\frac{\sin^2\frac\alpha2}{\cos^2\frac\alpha2}=\frac{\frac{1-\cos\alpha}{2}}{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha};\\ V=\frac{\pi}{3}H^3\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$