Question

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиусом6см точка касания делит боковую сторону на отрезки разность между которыми 5см Найдите среднюю линию трапеции

Answer 1

Смотрите рисунок во вложении

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, то выполняется условие AB+CD=BC+AD или AB+CD=2BC (трапеция равнобедренная).  По-этому, если обозначить AP=x и учесть свойство касательной к окружности, имеет место уравнение

$2x+2x+DH+FC=2\cdot(x+x+5),\\ DH+FC=10.$

Высота трапеции будет равна диаметру 2r данной окружности:

$h=MN=AH=BF=2r=12$

Поскольку AM=MB=FN=HN, то DH=FC=10:2=5 и по теореме Пифагора

$AD=\sqrt{AH^2+DH^2}= \sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.$

Тогда из уравнения

$x+x+5=13;\,x=4,$

получим, что AB=2x=8, a CD=AB+2DH=8+10=18 и средняя линия трапеции будет равна (AB+CD):2=13.