А вообще интересная задача, по ходу решения возникают некоторые интересности, которые обязательно отметим.
Перепишем уравнение в более красивый и читаемый вид:
![x^2+(1-2a)x+a^2+2=0;\ p=1-2a;\ q=a^2+2](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B%281-2a%29x%2Ba%5E2%2B2%3D0%3B%5C%20p%3D1-2a%3B%5C%20q%3Da%5E2%2B2)
Это уравнение приведенное уже, поэтому коэффициенты в таком виде.
Теперь запишем теорему Виета:
![$\left \{ {{x_1+x_2=-p } \atop {x_1\cdot x_2=q}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x_1+x_2=-(1-2a)} \atop {x_1\cdot x_2=a^2+2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x_1 + x_2=2a-1} \atop {x_1\cdot x_2=a^2+2}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%24%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx_1%2Bx_2%3D-p%20%7D%20%5Catop%20%7Bx_1%5Ccdot%20x_2%3Dq%7D%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx_1%2Bx_2%3D-%281-2a%29%7D%20%5Catop%20%7Bx_1%5Ccdot%20x_2%3Da%5E2%2B2%7D%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx_1%20%2B%20x_2%3D2a-1%7D%20%5Catop%20%7Bx_1%5Ccdot%20x_2%3Da%5E2%2B2%7D%7D%20%5Cright.)
Но нам нужна сумма квадратов корней уравнения, но это не проблема, у нас есть все, чтобы выразить её через известные величины.
![x_1^2+x_2^2=x_1^2+2\cdot x_1\cdot x_2+x_2^2-2\cdot x_1 \cdot x_2= (x_1+x_2)^2-2\cdot x_1 \cdot x_2= \\ (2a-1)^2-2\cdot (a^2+2)=4a^2-4a+1-2a^2-4=2a^2-4a-3 \Rightarrow \\ \Rightarrow \boxed{x_1^2+x_2^2=2a^2-4a-3}](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%5E2%2Bx_2%5E2%3Dx_1%5E2%2B2%5Ccdot%20x_1%5Ccdot%20x_2%2Bx_2%5E2-2%5Ccdot%20x_1%20%5Ccdot%20x_2%3D%20%28x_1%2Bx_2%29%5E2-2%5Ccdot%20x_1%20%5Ccdot%20x_2%3D%20%5C%5C%20%282a-1%29%5E2-2%5Ccdot%20%28a%5E2%2B2%29%3D4a%5E2-4a%2B1-2a%5E2-4%3D2a%5E2-4a-3%20%5CRightarrow%20%5C%5C%20%5CRightarrow%20%5Cboxed%7Bx_1%5E2%2Bx_2%5E2%3D2a%5E2-4a-3%7D)
И вот здесь сейчас начнется веселье.
Нам нужно, чтобы это выражение было наименьшим.
Исследуя функцию
, понимаем, что это парабола с ветвями, направленными вверх, то есть точка минимума в вершине, она же единственный экстремум, который находится из уравнения
![f'(a)=0 \Rightarrow 4a-4=0 \Rightarrow a=1](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28a%29%3D0%20%5CRightarrow%204a-4%3D0%20%5CRightarrow%20a%3D1)
Вроде бы нашли это значение. Но давайте проверим его)
![x^2+x-2\cdot 1\cdot x+2+1^2=0 \\ x^2-x+2=0 \\ D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 2 = 1=-8=-7<0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2Bx-2%5Ccdot%201%5Ccdot%20x%2B2%2B1%5E2%3D0%20%5C%5C%20x%5E2-x%2B2%3D0%20%5C%5C%20D%3D%28-1%29%5E2-4%5Ccdot%201%5Ccdot%202%20%3D%201%3D-8%3D-7%3C0)
Но это неудивительно. Вот те самые самые интересные моменты.
Почему вообще так получилось? Есть такая вещь в математике, как комплексные числа. Кратко: нужно решить уравнение
, математикам очень захотелось, поэтому уравнение имеет решения, конкретно у этого уравнения их два, это ![x=\pm 3i](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%5Cpm%203i)
- мнимая единица, такое число, что ![i^2=-1](https://tex.z-dn.net/?f=i%5E2%3D-1)
Комплексное число
имеет вид:
, то есть у него есть мнимая и действительная часть.
Так вот: у любого уравнения, у которого вид
, где
- многочлен n-ой степени, всегда будет n корней (учитывая их кратность), по следствию из основной теоремы алгебры. Это я к чему. У квадратного уравнения всегда 2 корня. Просто в ситуациях, когда
, эти корни комплексные, в ситуации
, корень то один, но кратности 2, но вообще считают, что два равных корня.
В целом, у задачки вид ЕГЭшный, поэтому надо бы ограничиться множеством действительных чисел, но если бы подразумевалось, что мы анализируем и множество комплексных чисел, то ответ был бы
. Нужно продолжить. Но пока покажу, почему теорема Виета работает исправно в любых случаях.
Дорешаем уравнение при ![a=1](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D1)
![$x^2-x+2=0; D=-7; x=\frac{1\pm i\sqrt{7}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%24x%5E2-x%2B2%3D0%3B%20D%3D-7%3B%20x%3D%5Cfrac%7B1%5Cpm%20i%5Csqrt%7B7%7D%7D%7B2%7D)
![$x_1+x_2=\frac{1+i\sqrt{7}}{2}+\frac{1-i\sqrt{7}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{7}}{2} -\frac{i\sqrt{7}}{2}=1](https://tex.z-dn.net/?f=%24x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B1%2Bi%5Csqrt%7B7%7D%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1-i%5Csqrt%7B7%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7Bi%5Csqrt%7B7%7D%7D%7B2%7D%20-%5Cfrac%7Bi%5Csqrt%7B7%7D%7D%7B2%7D%3D1)
![$x_1\cdot x_2=\frac{1+i\sqrt{7}}{2}\cdot \frac{1-i\sqrt{7}}{2}=\frac{(1+i\sqrt{7})(1-i\sqrt{7})}{4}=\frac{1^2-(i\sqrt{7})^2}{4}=](https://tex.z-dn.net/?f=%24x_1%5Ccdot%20x_2%3D%5Cfrac%7B1%2Bi%5Csqrt%7B7%7D%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1-i%5Csqrt%7B7%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B%281%2Bi%5Csqrt%7B7%7D%29%281-i%5Csqrt%7B7%7D%29%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B1%5E2-%28i%5Csqrt%7B7%7D%29%5E2%7D%7B4%7D%3D)
![$=\frac{1-i^2\cdot (\sqrt{7})^2}{4}=\frac{1-(-1)\cdot 7}{4}=\frac{1+7}{4} =2](https://tex.z-dn.net/?f=%24%3D%5Cfrac%7B1-i%5E2%5Ccdot%20%28%5Csqrt%7B7%7D%29%5E2%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B1-%28-1%29%5Ccdot%207%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B1%2B7%7D%7B4%7D%20%3D2)
А ведь это именно то, что мы получим по теореме Виета)))
![-p=-(-1)=1=x_1+x_2; q=2=x_1\cdot x_2](https://tex.z-dn.net/?f=-p%3D-%28-1%29%3D1%3Dx_1%2Bx_2%3B%20q%3D2%3Dx_1%5Ccdot%20x_2)
Как же не влезать в комплексные числа?
Очевидно, что дискриминант у нашего исходного уравнения не должен быть отрицательным, то есть:
![x^2+(1-2a)x+a^2+2=0\\ D=(1-2a)^2-4\cdot 1 \cdot (a^2+2)=4a^2-4a+1-4a^2-8=-4a-7 \geq 0 \\ -4a \geq 7 \Rightarrow a\leq-\frac{7}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B%281-2a%29x%2Ba%5E2%2B2%3D0%5C%5C%20D%3D%281-2a%29%5E2-4%5Ccdot%201%20%5Ccdot%20%28a%5E2%2B2%29%3D4a%5E2-4a%2B1-4a%5E2-8%3D-4a-7%20%5Cgeq%200%20%5C%5C%20-4a%20%5Cgeq%207%20%5CRightarrow%20a%5Cleq-%5Cfrac%7B7%7D%7B4%7D)
Единица находится в другой стороне от нашего полученного множества значений
. Получается, что сумма квадратов корней уравнения будет побольше, чем при
, и минимальное нецелое
это
, там будет 2 равных корня. А ближайшее целое значение, удовлетворяющее условию, это
.
Ответ: ![\boxed{a=-2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7Ba%3D-2%7D)