Question

1-2cos^2(x)=sin(pi-x) на промежутке [9пи/2; 13пи/2]

Answer 1

$1-2\cos^2x=\sin( \pi -x) \\\ 1-2(1-\sin^2x)=\sin x \\\ 1-2+2\sin^2x=\sin x \\\ 2\sin^2x-\sin x-1=0 \\\ \sin x=1 \Rightarrow x_1= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n, \ n\in Z \\\ \sin x=- \frac{1}{2} \Rightarrow x_2=- \frac{ \pi }{6}+2 \pi n; \ x_2=- \frac{5 \pi }{6}+2 \pi n; \ n\in Z$
Рассмотрим полученные серии корней:
1.
$\frac{9 \pi }{2} \leq \frac{ \pi }{2}+2 \pi n \leq \frac{13 \pi }{2} \\\ \frac{9 }{2} \leq \frac{ 1 }{2}+2 n \leq \frac{13 }{2} \\\ 9 \leq 1+4 n \leq 13 \\\ 8 \leq 4 n \leq 12 \\\ 2 \leq n \leq 3 \\\ n=2: \ x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi \cdot 2= \frac{ \pi }{2}+4 \pi=\frac{ 9\pi }{2} \\\ n=3: \ x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi \cdot 3= \frac{ \pi }{2}+6 \pi=\frac{ 13\pi }{2}$
2.
$\frac{9 \pi }{2} \leq -\frac{ \pi }{6}+2 \pi n \leq \frac{13 \pi }{2} \\\ \frac{9 }{2} \leq -\frac{ 1 }{6}+2 n \leq \frac{13 }{2} \\\ \frac{9 }{2}+\frac{ 1 }{6} \leq 2 n \leq \frac{13 }{2}+\frac{ 1 }{6} \\\ \frac{27 }{6}+\frac{ 1 }{6} \leq 2 n \leq \frac{39 }{6}+\frac{ 1 }{6} \\\ \frac{28 }{6} \leq 2 n \leq \frac{40 }{6} \\\ \frac{14 }{6} \leq n \leq \frac{20 }{6} \\\ n=3: \ x=-\frac{ \pi }{6}+2 \pi \cdot 3=-\frac{ \pi }{6}+6 \pi = \frac{35 \pi }{6}$
3.
$\frac{9 \pi }{2} \leq -\frac{5 \pi }{6}+2 \pi n \leq \frac{13 \pi }{2} \\\ \frac{9 }{2} \leq -\frac{ 5 }{6}+2 n \leq \frac{13 }{2} \\\ \frac{9 }{2}+\frac{ 5 }{6} \leq 2 n \leq \frac{13 }{2}+\frac{ 5 }{6} \\\ \frac{27 }{6}+\frac{ 5 }{6} \leq 2 n \leq \frac{39 }{6}+\frac{ 5 }{6} \\\ \frac{32 }{6} \leq 2 n \leq \frac{44 }{6} \\\ \frac{16 }{6} \leq n \leq \frac{22 }{6} \\\ n=3: \ x=-\frac{5 \pi }{6}+2 \pi \cdot 3=-\frac{5 \pi }{6}+6 \pi = \frac{31 \pi }{6}$
Ответ: 9п/2; 13п/2; 35п/6; 25п/6