Все наиболее сложные случаи склонения иностранных и редких фамилий расписаны здесь.
Что же касается той фамилии, которая Вас интересует, то она склоняется точно так же, как склонялась бы фамилия Иванов, если речь идёт о мужчине:
Вот практические примеры употребления фамилии Ким:
отсюда
оригинал здесь
Поскольку Юлий Черсанович очень известный человек, найти тексты, в которых его имя и фамилия стоят в любом из падежей, не составляет труда.
Фамилия Ким становится несклоняемой только у женщин. В этом случае склоняются только имя и отчество.
В тех случаях, когда речь идёт именно о корейцах, живущих в КНДР или Южной Корее, у них склоняется лишь последний элемент полного имени:
Но ведь здесь совершенно иная ситуация, к которой применяются совершенно иные правила.
Если Вам встречаются люди, которые не склоняют фамилию Ким у мужчин, когда речь не идёт о корейцах из Кореи, эти люди просто безграмотны. Такие чаще всего попадаются среди делопроизводителей, работавших в судах, при зонах лишения свободы и прочих мрачных учреждениях, где уровень зарплаты и образования был низок, а необычные имена, отчества и фамилии встречались постоянно.