10x² + 4x + b = 0
Квадратное уравнение имеет один корень, когда дискриминант равен нулю.
D = 4² - 4 * 10 * b = 16 - 40b
16 - 40b = 0
2 - 5b = 0
5b = 2
b = 0,4
tg(x)+ctg(x) = sin(x)/cos(x) + cos(x)/sin(x) = sin^2(x)/cos(x)sin(x) + cos^2(x)/cos(x)sin(x) = 1/cos(x)sin(x)
Так что:
7+4sinxcosx+1.5(tgx+ctgx)= 7 + 4sin(x)cos(x) + 1.5/sin(x)cos(x) = 0
7 + 4sin(x)cos(x) = -1.5/sin(x)cos(x)
т.к. 2sin(x)*cos(x) = sin(2x), то
7 + 2sin(2x) = - 3/sin(2x)
2sin^2(2x) + 7sin(2x) + 3 = 0
sin(2x) = 2sin(x)*cos(x) != 0 (!= означает не равно)
или sin(x) != 0 и cos(x) != 0
обозначая z = sin(2x) получим квадратное уравнение:
2z^2 + 7z + 3 = 0
решаете его, находите корни z1 и z2. А затем уже решаете уравнения:
sin(2x) = z1
sin(2x) = z2
а дальше вы их наверное умеете решать)
удачи)
3
a)x+y=π/2⇒x=π/2-y
sin²x-sin²y=1⇒sin²(π/2-y)-sin²y=1⇒cos²y-sin²y=1⇒cos2y=1⇒2y=0⇒y=0
x=π/2-0=π/2
b)x-y=π/6⇒x=y+π/6
sinx*cosy=1/2⇒sin(y+π/6)*siny=1/2⇒1/2(sinπ/6+sin(2y+π/6))=
=1/2⇒1/2+sin(2y+π/6)=1⇒sin(2y+π/6)=1/2⇒2y+π/6=π/6⇒2y=0⇒y=0
x=0+π/6=π/6
4
a)sin4x-sinx=0
2sin(3x/2)cos(5x/2)=0
sin(3x/2)=0⇒3x/2=πn⇒x=2πn/3 ⇒x=8π/3∈[3π;5π/2]
cos(5x/2)=0⇒5x/2=π/2+πn⇒x=π/5+2πn/5 ⇒x=11π/5∈[3π;5π/2]
b)2sin(π/2-x)*cos(π/2+x)=√3cosx
2cosx*(-sinx)=√3cosx
√3cosx+2cosxsinx=0
cosx(√3+2sinx)=0
cosx=0⇒x=π/2+πn ⇒x={-3π/2;-π/2}∈[-2π;-π/2]
sinx=-√3/2⇒x=(-1)^n+1*π/3+πn x =-2π/3∈[-2π;-π/2]