Это квадратное уравнение, решается оно с помощью нахождения дискриминанта :
5x^2 + 15x = 0
a=5 b=15 c =0
по формуле дискриминанта вычтем сколько же равен сам дискриминант
D=b^2 - 4ac
D= 15^2 - 4*5*0
D= 225 - 0
D= 225
потом находим переменные ИКС (т к уравнение квадратное то переменных икс будет две)
X1= (-b + <span>√D) / 2a
если что </span>(-b + √D ) это числитель, а 2a это знаменатель
X1= (-15 + √225) / 2*5
X1= (-15 + 15) / 10
X1= 0 /10 = 0
второй икс находится так же, только не ПЛЮС корень из дискриминанта, а МИНУС корень из дискриминанта, тоесть :
X2= (-b - √D ) / 2a
X2= (-15 - √225) / 2*5
X2= (-15 - 15) / 10
X2= -30 /10 = -3
ответ : 0, -3
![|x| \leq 1\\ -1 \leq x \leq 1](https://tex.z-dn.net/?f=%7Cx%7C+%5Cleq+1%5C%5C+-1+%5Cleq+x+%5Cleq+1)
Приравняем к нулю
![(a-x^2)(a+x-2)=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28a-x%5E2%29%28a%2Bx-2%29%3D0)
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
![a-x^2=0\\ x=\pm \sqrt{a}](https://tex.z-dn.net/?f=a-x%5E2%3D0%5C%5C+x%3D%5Cpm+%5Csqrt%7Ba%7D+)
Оценим в виде двойного неравенства
![-1 \leq \sqrt{a} \leq 1\\ 0 \leq a \leq 1](https://tex.z-dn.net/?f=-1+%5Cleq+%5Csqrt%7Ba%7D+%5Cleq+1%5C%5C+0+%5Cleq+a+%5Cleq+1)
Т.е. при
![a \in [0;1]](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cin+%5B0%3B1%5D)
- неравенства будут иметь общее решение, значит при
![a \in (-\infty;0)\cup(1;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cin+%28-%5Cinfty%3B0%29%5Ccup%281%3B%2B%5Cinfty%29)
неравенства общих решений не будет иметь
![a+x-2=0\\ x=2-a](https://tex.z-dn.net/?f=a%2Bx-2%3D0%5C%5C+x%3D2-a)
Снова оценим в виде двойного неравенства
![-1 \leq 2-a \leq 1\,\, |-2\\ \\ -3 \leq -a \leq -1|\cdot (-1)\\ \\ 1 \leq a \leq 3](https://tex.z-dn.net/?f=-1+%5Cleq+2-a+%5Cleq+1%5C%2C%5C%2C+%7C-2%5C%5C+%5C%5C+-3+%5Cleq+-a+%5Cleq+-1%7C%5Ccdot+%28-1%29%5C%5C+%5C%5C+1+%5Cleq+a+%5Cleq+3)
При
![a \in (-\infty;1)\cup(3;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cin+%28-%5Cinfty%3B1%29%5Ccup%283%3B%2B%5Cinfty%29)
неравенства общих решений не имеют
Общее решение:
![a \in (-\infty;0)\cup(3;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cin+%28-%5Cinfty%3B0%29%5Ccup%283%3B%2B%5Cinfty%29)
Проверим будут ли неравенства иметь решения при a=0 и а=3
Если а=0, то неравенство запишется так
![-x^2(x-2)\ \textless \ 0\\ \\ x^2(x-2)\ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=-x%5E2%28x-2%29%5C+%5Ctextless+%5C+0%5C%5C+%5C%5C+x%5E2%28x-2%29%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
Корни будут х=0 и х=2
___-___(0)__-___(2)__+___
x ∈ (2;+∞)
Следовательно общих решений с x ∈ [-1;1] нет, значит а=0 подходит
Если а=3, то
![(3-x^2)(x+1)\ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=%283-x%5E2%29%28x%2B1%29%5C+%5Ctextless+%5C+0)
Приравниваем к нулю:
![(3-x^2)(x+1)=0\\ \left[\begin{array}{ccc}3-x^2=0\\ x+1=0\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x_{1,2}=\pm \sqrt{3} \\ x_3=-1\end{array}\right](https://tex.z-dn.net/?f=%283-x%5E2%29%28x%2B1%29%3D0%5C%5C+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D3-x%5E2%3D0%5C%5C+x%2B1%3D0%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5CRightarrow+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dx_%7B1%2C2%7D%3D%5Cpm+%5Csqrt%7B3%7D+%5C%5C+x_3%3D-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright)
___+___(-√3)___-___(-1)___+____(√3)___-___
x ∈ (-√3;-1) U (√3;+∞)
Общее решение неравенства (3-x²)(x+1)<0 с неравенство x²≤1 нет, следовательно а=3 тоже подходит
Ответ:
![a \in (-\infty;0]\cup[3;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cin+%28-%5Cinfty%3B0%5D%5Ccup%5B3%3B%2B%5Cinfty%29)