Question

Помогите срочно!
Наибольший общий делитель чисел a и b составляет 20% от a. Сколько процентов он может составлять от b?
(А) 5, (Б) 10, (В) 15, (Г) 20, (Д) 25
Даю 39 баллов, ответы без обоснования не принимаются!

Answer 1

Так как числа у нас не указаны, то это могут быть любые числа, но при этом их общий делитель составляет 20 % от одного из них, или 1/5 от него, поэтому давайте посмотрим на примерах.
Какой это может быть делитель: 2 не может быть, тогда число а будет равно 10, а число b может быть только 2 (чтобы общим наибольшим делителем было число 2), тогда наибольший общий делитель 2 будет составлять 100% от числа b, а такого ответа у нас нет. Перебирая таким образом все возможные общие делители при сохранении всех условий задачи, делаем выводы, что правильный ответ: 25 %. Как пример можно привести: а = 15, b = 12, наибольший общий делитель - 3.
Ответ: 25 % (вариант Д).

Answer 2

НОД(a; b) = c
c =  $\frac{20}{100}$ · a = 0,2a ⇒ c = 5a
Ничего не остаётся, как метод перебирания
c = 0,05b ⇒ b = 20c = 4c · 5(5c · 4)
c = 0,1b ⇒ b = 10c = 5с · 2(2с · 5)
с = 0,15b ⇒ b = $6\frac{2}{3}c$ = 5c · $\frac{4}{3}$(5 · $\frac{4}{3}c$)
c = 0,2b ⇒ b = 5c = 5c · 1(1c · 5)
с = 0,25b ⇒ b = 4c = 4c · 1(c · 4)
В первых 4-х вариантах постоянно появляется 5с(множитель), но это не отвечает условию задачи, т.к. 5с это и есть число а ⇒ в данных случаях "c" не является наибольшим общим делителем. Самый благоприятный случай это 5-ый, поэтому ответ д) 25%