Думаю, что уговорить человека, особенно если все доводы исчерпаны, невозможно. Я сама мама и против тату, возможно из-за того, что в моей юности и молодости татуированными были только люди, сидевшие в тюрьме.
Тем не менее сейчас пошла повальная мода на тату и не все понимают, откуда она взялась. А ответ прост - тату начали делать для того, чтобы скрыть шрамы и дефекты кожи, то есть сделать эстетичным то, что выглядело некрасиво.
По сути вопроса, попробуйте поискать для сына мотивацию, при которой он поймет, что ему выгоднее не делать тату, чем делать. Думаю, что нет смысла давить ни на эстетику, ни на то, что в старости будет некрасиво, ни на опасность заражения, например, гепатитом, хотя если у него есть боязнь, то можно попробовать.
Одним словом, Вы лучше знаете собственного ребенка, можно попробовать "купить" отсутствие татух, дав ему деньги на что-то, что он хочет получить, но не может на это заработать. Можно сводить к какому-то врачу, который его напугает последствиями. Если для Вас критически важно, чтобы он не делал татуировки, стоит пробовать разные варианты. В любом случае он должен прийти к выводу, что не делать татуировку выгодно именно ему! Только в этом случае он откажется от этой затеи. Желаю Вам удачи!