Question

Дан треугольник ABC, в котором AB=8, AC=15, BC=13 . Точка D лежит на стороне AC и делит ее на отрезки, длины которых относятся как 1:2. Окружности, вписанные в треугольники ABD и CBD касаются прямой AC в точках K и L соответственно. Найти длину отрезка KL. (Два случая)

Answer 1

В треугольнике АВС по теореме косинусов находим углы А и С:
cos A = (b²+c²-a²) / (2bc) = (15²+8²-13²) / (2*15*8) = 120 / 240 = 1 / 2.
A = arc cos (1/2) = 60°.
cos C = (a²+b²-c²) / (2ab) = (13²+15²-8²) / (2*13*15) = 330 / 390 = 11 / 13
C = arc cos (11/13) = 32,20423°.
Теперь определяем длину отрезка ВД = √(5²+8²-2*5*8*(1/2)) = √(25+64-40) = 7.
В треугольниках ABD и CBD находим радиусы вписанных окружностей по формуле: r = √((p-a)(p-b)(p-c) / p).
r₁ = √((10-5)(10-8)(10-7) / 10) = √3 = 1,732051,
r₂ = √((15-7)(15-10)(15-13) / 15) = √(80/15) = √(16/3) = 4 / √3 = 2,309401.
Находим тангенс половинного углa С через  косинус по формуле:
tg α/2 =√(1-cos α) / (1+cos α).
tg A/2 = tg 60/2 = tg 30 = 1/√3
tg C/2 = √((1-(11/13)) / (1+(11/13))) = √(2/24) = √(1/12) = 1 / 2√3.
Находим отрезки АК и СL:
AK = r₁ / tg A/2 = √3 / (1/√3) = 3.
CL = r₂ / tg C/2 = 4*2√3 / √3 = 8
Отсюда искомый отрезок KL = 15-3-8 = 4.
Из условия задачи вытекает только один вариант: если соотношение отрезков AD и DC считать слева направо.
Второй вариант может быть при расположении точки D со стороны ула С.