Пусть АВС - исходный треугольник, С - вершина прямого угла, а АЕ и ВD - медианы.
Пусть ВС = а, АС = b. Тогда по теореме Пифагора
ВD² = BC² + CD² = a² + (b/2)² = a² + b²/4
AE² = AC² + CE² = b² + (a/2)² = b² + a²/4
Следовательно
BD² + CE² = a² + b²/4 + b² + a²/4 = 5/4 * (a² + b²) = 5/4 * AB²
1.
х = 80° как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых а и b секущей с.
у = 180° - 80° = 100° - внутренние односторонние с данным углом.
2. ∠MKF = 70° - вертикальные с данным углом
∠MKF = ∠MPE, а они соответственные при пересечении прямых а и b секущей МК, значит а║b.
∠PEM = ∠KFE = 52° как соответственные при пересечении параллельных прямых а и b секущей MF.
∠х = 180° - ∠РЕМ = 180° - 52° = 128°
3. Углы с вершинами в точках А и В, равные 80° - накрест лежащие при пересечении прямых а и b секущей АВ, значит а║b.
∠х = 40°, как соответственные при пересечении параллельных прямых а и b секущей CD.
∠у = 180°- ∠х = 180° - 40° = 140° (смежные).
4. ∠KEF + ∠PFE = 145° + 35° = 180°, эти углы - односторонние при пересечении прямых ЕК и PF секущей EF, значит ЕК║PF.
∠РКЕ = 50° как соответственные с данным углом при пересечении параллельных прямых ЕК и PF секущей РК.
∠х = ∠РКЕ = 50° как вертикальные.
5. ∠ВСD = 51° - вертикальные.
∠BCD + ∠ADC = 51° + 129° = 180°, эти углы - односторонние при пересечении прямых ВС и AD секущей CD, значит ВС║AD.
∠СВЕ = ∠АЕВ = 52° как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей ВЕ,
∠АВС = 2∠СВЕ = 104°, так как биссектриса по условию,
∠х = 180° - ∠АВС = 180° - 104° = 76° как односторонние при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей АВ.
6. ∠KNM + ∠PMN = 112° + 68° = 180°, эти углы - односторонние при пересечении прямых NK и MP секущей MN, значит NK ║ MP.
∠КРМ = 78° как накрест лежащие с данным углом при пересечении NK║MP секущей КР,
∠ТРМ = ∠КРМ/2 = 78°/2 = 39°, так как по условию РТ биссектриса,
∠х = ∠ТРМ = 39° как накрест лежащие при пересечении NK║MP секущей ТР.
7. Проведем прямую а║АВ, значит а║DE.
∠4 = ∠1 как накрест лежащие при пересечении АВ║а секущей АС.
∠5 = ∠2 как накрест лежащие при пересечении DE║a секущей DC.
∠3 = ∠4 + ∠5 = ∠1 + ∠2
8. ∠АМЕ + ∠ВЕМ = 180° так как эти углы односторонние при пересечении а║b секущей МЕ.
∠АМО = ∠АМЕ/2
∠ВЕО = ∠ВЕМ/2 по условию,
∠АМО + ∠ВЕО = (∠АМЕ + ∠ВЕМ)/2 = 180°/2 = 90°
Проведем прямую с║а, значит и с║b.
∠4 = ∠АМО как накрест лежащие при пересечении с║а секущей МО
∠5 = ∠ВЕО как накрест лежащие при пересечении с║b секущей ЕО.
∠МОЕ = ∠4 + ∠5 = ∠АМО + ∠ВЕО = 90°.
9. Проведем прямую с║а, значит и с║b.
∠1 + ∠4 = 180° так как эти углы односторонние при пересечении а║с секущей АВ.
∠3 + ∠5 = 180° так как эти углы односторонние при пересечении с║b секущей ВС.
∠1+ ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°
А так как ∠4 + ∠5 = ∠2, то и
∠1+ ∠2 + ∠3 = 360°
Формула для нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
r=(a+b-с) /2 , где a,b - катеты, с-гипотенуза. В нашем треугольнике гипотенуза = 17 (по теореме Пифагора), значит , r= (8+15-17)/2 = 3.
Можно решить по другой формуле: r=S/p, где S- площадь треугольника, p- полупериметр. S=a*b/2=15*8/2=60. p=(8+15+17)/2=20. r=S/p=60/20=3.
Ответ: катет 8см и гипотенуза 16 см
Объяснение: если два угла рано 60 и 90, то последний равен 30. Что означает, что этот катет вдвое меньше гипотенузы.
2катета=гипотенуза
2катета+катет=24
Получается, катет равен 8 см