Question

Дана функция $y=( \frac{1}{2}) ^{x}+1$
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=f(x)$ на отрезке [-2;1]
2. На каком отрезке функция $y=f(x)$ принимает наибольшее значение, равное 17, наименьшее значение, равное 3?
3. Решите уравнение $f(x)=3x+6$

Answer 1

1. 
$y'=(\frac{1}{2})^x\ln\frac{1}{2}, \\ D_y=R, \\ y'=0, (\frac{1}{2})^x\ln\frac{1}{2}=0,\\ (\frac{1}{2})^x=0, \\ x\in\varnothing; \\ x=-2, y=(\frac{1}{2})^{-2}+1=5, \\ x=1, y=(\frac{1}{2})^1+1=1,5, \\ \min\limits_{x\in[-2;1]}y=1,5, \max\limits_{x\in[-2;1]}y=5.$
2.
$y=17, (\frac{1}{2})^x+1=17,\\ (\frac{1}{2})^x=16,\\ (\frac{1}{2})^x=(\frac{1}{2})^{-4},\\ x=-4; \\ y=3, (\frac{1}{2})^x+1=3,\\ (\frac{1}{2})^x=2,\\ (\frac{1}{2})^x=(\frac{1}{2})^{-1},\\ x=-1; \\ x\in[-4;-1].$
3.
$(\frac{1}{2})^x+1=3x+6, \\ (\frac{1}{2})^x=3x+5, \\ y_1=(\frac{1}{2})^x, y_2=3x+5; \\ x\approx-0,75.$