Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=1/2cos2x+sinx на отрезке [0;π/2].
Распишите производную, пожалуйста,полностью

Answer 1

Y=1/2cos2x+sinx

y'=1/2 *(-sin2x)*2+cosx=-sin2x+cosx

cosx-2sinxcosx=0
cosx(1-2sinx)=0
1)cosx=0;x=π/2
2)1-2sinx=0
sinx=1/2
x=π/6

y(0)=1/2
y(π/6)=1/2 *cosπ/3+sinπ/6=1/4+1/2=3/4
y(π/2)=1/2 *cosπ+sinπ/2=-1/2+1=1/2
y(max)=3/4
y(min)=1/2

Answer 2

y = (1/2)•cos2x + sinx

y' = ( (1/2)•cos2x + sinx )' = ((1/2)•cos2x)' + (sinx)' = (1/2)•(-sin2x)•(2x)' + cosx = (1/2)•(-sin2x)•2 + cosx = - sin2x + cosx

y' = - sin2x + cosx , y' = 0

- sin2x + cosx = 0

- 2sinx•cosx + cosx = 0

cosx•(- 2sinx + 1) = 0

1) cosx = 0

x = п/2 + пn, n принадлежит Z

2) sinx = 1/2

x = п/6 + 2пk, k принадлежит Z

x = 5п/6 + 2пm, m принадлежит Z

п/2 и п/6 принадлежат  [0;п/2]

у' -------[(0)++++++(п/6)-------(п/2)]-------

Унаиб(п/6) = (1/2)•cos(п/3) + sin(п/6) = (1/2)•(1/2) + (1/2) = 0,25 + 0,5 = 0,75

Унаим(0) = (1/2)•cos0 + sin0 = (1/2) + 0 = 0,5

Унаим(п/2) = (1/2)•cosп + sin(п/2) = - (1/2) + 1 = 0,5

ОТВЕТ: у(наиб) = 0,75 ; у(наим) = 0,5