Question

Найти точки перегиба функции f x =ln (x^2+1)

Answer 1

$\displaystyle f(x)=ln(x^2+1)$

Для нахождения точек перегиба нужно найти вторую производную данной функции

$\displaystyle f`(x)=(ln(x^2+1))`= \frac{1}{x^2+1}*2x= \frac{2x}{x^2+1}\\\\f``(x)=( \frac{2x}{x^2+1})`= \frac{2*(x^2+1)-2x*2x}{(x^2+1)^2}=\\\\= \frac{2(x^2+1-2x^2)}{(x^2+1)^2}= \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\\\\f``(x)=0\\\\ \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}=0\\\\x=1; x=-1$

_____-1_______ 0 _________ 1 ________
   -             +                    +                    -

значит при х=-1 и х=-1 точки перегиба

Answer 2

Task/27261174
-------------------
Найти точки перегиба функции f(x) =ln (x^2+1) .
---
Если вторая производная при переходе через точку, в которой она не существует или равна нулю, меняет знак, то точка является точкой перегиба.
----------
f '(x) =( ln (x²+1) ) ' = (1/(x²+1) ) *(x²+1) ' =2x/(x²+1) .  
f ''(x) =( f '(x) ) ' = ( 2x /(x²+1) ) ' =2( x/(x²+1) ) ' =
2*( x'*(x²+1) - x*(x²+1) ') / (x²+1)² =2* (x²+1 -2x²) /(x²+1)² =2*(1 -x²) /(x²+1)² =
2(1+x)(1-x)/(x²+1)² .

f ''(x) =0 ⇔(1+x)(1-x) =0  ⇒ x₁= -1 ,x₂ =1.

f ''(x)         " -"                    " +"                       " - "
---------------------- (-1)---------------------- (1) ---------------------
f(x)    выпуклой           вогнутой                   выпуклой  

ответ:  -1 ; 1.