Question

Составить уравнение касательной к графику функции f(x)=4x^2-3x+2, параллельной прямой 5y+x=1

Answer 1

Преобразуем уравнение прямой:
5y+x=1 
5y=1-x
y=0.2 - 0.2x

линии, параллельные этой прямой будут иметь тот же угол наклона, то есть тот же k=-0.2.

Найдем производную от функции:
p(x) = 4*2*x - 3 = 8x-3

Тангенс угла наклона касательной (коэффициент k в уравнении прямой) к кривой в заданной точке x0 равна значению производной в этой точке x0. Нам известен k=-0.2, надо найти x0, то есть координату x точки касания.

p(x0) = k
8*x0 - 3 = -0.2
x0 = (-0.2 + 3)/8 = 0.35

Чтобы найти координату y точки касания (y0) надо подставить x0 в функцию:
f(x0) = 4*(x0)^2 - 3*x0 +2 = 1.44

Теперь надо найти уравнение прямой, проходящей через точку (x0,y0) и имеющий известный коэффициент k.

y = k*x + b - надо найти b, для этого подставим x0 и y0 в это уравнение.

y0 = k*x0 + b
b = y0 - k*x0 = 1.44 - (-0.2)*0.35 = 1.51

таким образом, искомое уравнение касательной будет:
y = -0.2*x + 1.51