Question

при каких значениях параметра p функция у=2x^3 - px^2 + px- 14 возрастает на всей числовой прямой

Answer 1

$f(x)=2x^3-px^2+px-14$

Функция f(x) возрастает, если её производная $f'(x)\ \textgreater \ 0$.

$f'(x)=(2x^3-px^2+px-14)'=6x^2-2px+p\ \textgreater \ 0$

Это неравенство выполняется для всех х, если D<0, то есть

$D=(-2p)^2-4\cdot6\cdot p=4p^2-24p=4p(p-6)\ \textless \ 0$

____+__(0)____-___(6)___+___

При $0\ \textless \ p\ \textless \ 6$ функция f(x) возрастает на всей числовой прямой. Осталось теперь проверить параметры р на концах интервала

Если $p=0$, то $f(x)=2x^3-14$ - возрастающая функция.

Если $p=6$, то $f(x)=2x^3-6x^2+6x-14\\ f'(x)=6x^2-12x+6=6(x^2-2x+1)=6(x-1)^2\ \textgreater \ 0$, то есть функция является возрастающей.

ОТВЕТ: при $p\in[0;6].$